一致收敛

当函数序列中的函数的到达域是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  时，此时均匀收敛的定义为：

让 ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$  是定义在 ${\displaystyle S}$  上，到达域为 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一组函数序列，若序列 ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$  均匀收敛至函数 ${\displaystyle f}$  在集合 ${\displaystyle S}$  上，即表示对所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ，使得当所有 ${\displaystyle n\geq N}$  且 ${\displaystyle x\in S}$  时有

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .}$ 

可将这定义推广到一般的度量空间：

设 ${\displaystyle S}$  为一集合，${\displaystyle (M,d)}$  为度量空间。若对一组函数序列 ${\displaystyle f_{n}:S\to M}$ ，存在函数 ${\displaystyle f:S\to M}$  满足 对所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ，使得当所有 ${\displaystyle n\geq N}$  且 ${\displaystyle x\in S}$  时有

${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon ,}$ 

则称序列 ${\displaystyle f_{n}}$  一致收敛到 ${\displaystyle f}$ 。

注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中 ${\displaystyle N}$ 的选取仅与 ${\displaystyle \epsilon }$  相关，而在逐点收敛中 ${\displaystyle N}$  还多了与点 ${\displaystyle x}$  相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。

例子一：对任何${\displaystyle [0,1]}$ 上的连续函数${\displaystyle f}$ ，考虑多项式序列

${\displaystyle P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right){n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}}$ 

可证明${\displaystyle P_{n}}$ 在区间${\displaystyle [0,1]}$ 上一致收敛到函数${\displaystyle f}$ 。其中的${\displaystyle b_{k,n}(x):={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}}$ 称为伯恩斯坦多项式。

透过坐标的平移与缩放，可知在任何闭区间上都能用多项式一致地逼近连续函数，这是斯通-维尔斯特拉斯定理的一个建构性证明。

例子二：考虑区间${\displaystyle [0,\pi ]}$ 上的函数序列${\displaystyle f_{n}(x):=\sin ^{n}(x)}$ ，它逐点收敛到函数

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&,x\neq \pi /2\\1&,x=\pi /2\end{cases}}}$ 

然而这并非一致收敛。直观地想像：当${\displaystyle x}$ 愈靠近${\displaystyle \pi /2}$ ，使${\displaystyle f_{n}(x)}$ 接近${\displaystyle 0}$ 所需的${\displaystyle n}$ 便愈大。可以依此想法循定义直接证明，也可以利用下节关于连续的性质证明，因为在此例中${\displaystyle f_{n}(x)}$ 皆连续，而${\displaystyle f(x)}$ 不连续。

让 ${\displaystyle (f_{n})}$  为一组函数序列，到达域为 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ，此时有下述性质：

• 连续性：若函数序列 ${\displaystyle (f_{n})}$  均匀收敛至函数 ${\displaystyle f}$ ，则有：

1. 假设函数序列的定义域是闭包（closure）集合 ${\displaystyle I}$ ，且 ${\displaystyle a}$  是 ${\displaystyle I}$  的中的一点。若每个 ${\displaystyle f_{n}}$  都在 ${\displaystyle a}$  点连续，则 ${\displaystyle f}$  也在 ${\displaystyle a}$  点连续。
2. 若对集合 ${\displaystyle I}$  的每个紧致子集 ${\displaystyle J}$ ，每个 ${\displaystyle f_{n}}$  都在 ${\displaystyle J}$  上连续，则 ${\displaystyle f}$  在 ${\displaystyle I}$  上连续。

• 与积分的交换：令 ${\displaystyle (f_{n})}$  为定义在紧致区间 ${\displaystyle I}$  的函数序列，且序列 ${\displaystyle (f_{n})}$  均匀收敛至函数 ${\displaystyle f}$ 。若每个 ${\displaystyle f_{n}}$  都是黎曼可积，则 ${\displaystyle f}$  也是黎曼可积，而且

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\mathrm {d} x=\int _{S}f\,\mathrm {d} x.\quad \quad }$ ^{[注 2]}

• 与微分的交换：可微函数序列 ${\displaystyle (f_{n})}$  均匀收敛至函数 ${\displaystyle f}$ ，并不能保证 ${\displaystyle f}$  是可微的，还需要对该函数序列的微分，${\displaystyle (f'_{n})}$ ，做些限制，请参看以下定理：

让 ${\displaystyle (f_{n})}$  为定义在闭区间 ${\displaystyle [a,b]}$  的可微函数序列，且存在一点 ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$  使得极限 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}$  存在（且有限）。若序列的微分 ${\displaystyle (f'_{n})}$  在区间 ${\displaystyle [a,b]}$  一致收敛到函数 ${\displaystyle g}$ ，则序列 ${\displaystyle (f_{n})}$  均匀收敛至函数 ${\displaystyle f}$  且 ${\displaystyle f}$  亦是可微函数，且有：

${\displaystyle f'=g=\lim _{n\to \infty }f'_{n}}$ 。

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156（1918）
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10（Paperback）; ISBN 0-387-19374-X