藤村幸三郎的三角形问题

藤村幸三郎的三角形问题（Kobon triangle problem）是一个离散几何上未解决的问题，该问题首先由藤村幸三郎（Kobon Fujimura）提出。这个问题问说“对k条线进行排列，则在此直线排列（Arrangement of lines）中，以这k条线为边且彼此不重叠的三角形最多有多少个？”。一些此问题的变体问的是在射影平面上的状况，且要求其中的三角形不能为该直线排列中的各线给穿过。^[1]

此问题使用三条、四条与五条笔直线段之解。

田村三郎证明说此问题的最大整数解之值不超过${\displaystyle {\frac {k(k-2)}{3}}}$，这为“对k条线进行排列，则在此直线排列（Arrangement of lines）中，以这k条线为边且彼此不重叠的三角形的数量的最大值”解提供了一个上界。^[2]

在2007年，约翰尼斯‧巴德（Johannes Bader）和吉莱‧克雷蒙（Gilles Clément）发现了一个较小的上界，他们证明说当k除以6的余数为0或2时，该k值对此问题答案的上界会比田村氏所给出的上界要来得小。^[3]在这些k值中，其上界值会为田村氏给出的上界值减一。

此问题的“完美解”（与理论最大值相合的已知最佳解）在k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 和 17的状况下是已求出的^[4] ；在k = 10, 11 和 12的状况下，目前已知的最佳解比其理论上界要小一个值。

借由使用佛吉（D. Forge）和罗米瑞兹─阿尔丰森（J. L. Ramirez Alfonsin）两氏提供的方法^[1][5]，在已知k₀条线状况下的完美解的状况下，亦可知此问题对形如${\displaystyle k_{n+1}=2\cdot k_{n}-1,\!\,}$的各数字k_i的（完美）解，像例如当k₀ = 3时，在k = 3,5,9,17,33,65,...等的状况下，“对k条线进行排列，则在此直线排列（Arrangement of lines）中，以这k条线为边且彼此不重叠的三角形的数量的最大值”亦可求出。