秘书问题

几率赛局理论上,秘书问题(Secretary problem),类似的名称有相亲问题止步问题见好就收问题苏丹的嫁妆问题挑剔的求婚者问题等,属于最佳停止问题英语Optimal stopping。内容是这样的:要聘请一名秘书,有 n 个应聘者。每次面试一人,面试后就要及时决定是否聘他,如果当时决定不聘他,他便不会回来。面试后总能清楚了解应聘者的合适程度,并能和之前的每个人做比较。问什么样的策略,才使最佳人选被选中的概率最大。

求解最优策略

这个问题的最优解是一个停止规则。在这个规则里,面试官会拒绝头 r - 1 个应聘者(令他们中的最佳人选为 应聘者 M),然后选出第一个比 M 好的应聘者。可见最优策略包含于这个系列的策略中。(如果M在所有n个应聘者中也是最好的一个,那么这个策略将选不出任何人选)对于任意的截断值 r,最佳人选被选中的概率是:

 


求和符号内概率的计算是基于:如果应聘者 i 是(所有应聘者中的)最佳人选,他被选中当且仅当头 i - 1 个应聘者中的最佳人选处在头 r - 1 个被拒绝的应聘者中。令 n 趋近无穷大,把 x 表示为 r/n 的极限,令 ti/ndt1/n,总和可以近似为如下积分:

 

令 P(x) 对 x 的导数为 0,解出 x,我们得到最优的 x 等于 1/e。从而,当 n 增大时,最优截断值趋近于 n/e 最佳人选被选中的概率为 1/e

对于较小的 n 值, 最优的 r 也可以通过动态规划方法得到。下表给出了一些最优的 r 值:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
r 1 1 2 2 3 3 3 4 4
P 1.000 0.500 0.500 0.458 0.433 0.428 0.414 0.410 0.406

此问题的变种

  • 选择者可选多于一人
  • 求职者的数目未知
  • 求职者之间的关系可影响选择
  • 被拒绝的求职者有一定几率能被叫回来
  • 选择者满足于次好的人

参考

译自本页英文版

  • T. S. Ferguson. "Who solved the secretary problem?" Statistical science, volume 4, pp.282-296. 1988.
  • 数学传播第二卷第三期 : 海外学人相亲记 [1]页面存档备份,存于互联网档案馆

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