渗流理论

根据零一律，一个无限的随机图是否渗流的概率要么为0，要么为1，处于这一转折的临界概率称为渗流阈值，记作p_c。少数简单模型的渗流阈值有精确的解析解。例如，一维点阵的边渗流和点渗流阈值均为p_c=1，这个解是平凡的；^[2]二维方格的渗流阈值曾困扰物理学界20年，直到1980年代由哈里·凯斯滕（英语：Harry_Kesten）给出完整证明，其边渗流阈值是1/2（参见Kesten (1982)）。^[3]另一种已知精确解的特殊情况是贝特晶格（英语：Bethe_lattice）（该模型的每一个顶点有z个近邻顶点，如此延伸，没有回路），${\displaystyle p_{c}={\frac {1}{z-1}}}$ 。

以下给出d维简单立方模型的渗流阈值数据：

实际计算中，当网格边长n较大时，比如n=100，一个体系是否渗流的概率在p_c附近的变化已经非常尖锐。

模型在渗流阈值附近的行为可视作一种相变，因为有些表征性质的物理量是发散的，比如簇的期望大小。标度理论认为模型在渗流阈值的性质可以用一系列临界指数描述。例如，相互连接的点（点渗流）或边（边渗流）构成一个簇。当${\displaystyle p=p_{c}}$ 时，簇大小的分布趋于${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau },(s\rightarrow \infty )}$ ，其中${\displaystyle s}$ 为簇的大小，${\displaystyle n_{s}}$ 为该大小的簇出现的概率，${\displaystyle \tau }$ 为费舍尔指数（Fischer exponent）。

又如，两个距离为${\displaystyle {\vec {r}}\,\!}$ 的点属于同一个簇的概率呈${\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-d+(2+\eta )}\,\!}$ 指数衰减，其中${\displaystyle \eta }$ 为反常维度（Anomalous dimension）。

在渗流阈值时，无限的簇可视作一分形。以该无限的簇上的一点为中心，长度为${\displaystyle L}$ 半径范围内属于该簇点的个数（簇的质量）满足${\displaystyle M(L)=L^{d_{\mathrm {f} }}}$ ，${\displaystyle d_{\mathrm {f} }}$ 称为分形维度（Fractal dimension）。以上三个指数满足

${\displaystyle \tau ={\frac {d}{d_{\text{f}}}}+1\,\!}$ 

${\displaystyle \eta =2+d-2d_{\text{f}}\,\!}$ 

渗流临界指数及关系也是渗流理论研究的重要内容。

• 普遍性 (物理学)
• ER随机图