梅特罗波利斯－黑斯廷斯算法

梅特罗波利斯－黑斯廷斯算法（英语：Metropolis–Hastings algorithm）是统计学与统计物理中的一种马尔科夫蒙特卡洛（MCMC）方法，用于在难以直接采样时从某一概率分布中抽取随机样本序列。得到的序列可用于估计该概率分布或计算积分（如期望值）等。梅特罗波利斯－黑斯廷斯或其他MCMC算法一般用于从多变量（尤其是高维）分布中采样。对于单变量分布而言，常会使用自适应判别采样（adaptive rejection sampling）等其他能抽取独立样本的方法，而不会出现MCMC中样本自相关的问题。

提议分布Q表示随机游走下一状态的可能位置

该算法的名称源于美国物理学家尼古拉斯·梅特罗波利斯^[1]与加拿大统计学家W·K·黑斯廷斯（英语：W. K. Hastings）。^[2]

算法

假设 $P(x)$ 为目标概率分布。梅特罗波利斯－黑斯廷斯算法的过程为：

初始化
1. 选定初始状态 $x_{0}$ ；
2. 令 $t=0$ ；
迭代过程
1. 生成： 从某一容易抽样的分布 $Q(x'|x_{t})$ 中随机生成候选状态 $x'$ ；^{[注 1]}
2. 计算： 计算是否采纳候选状态的概率 ${\textstyle A(x'|x)=\min \left(1,{\frac {P(x')}{P(x)}}{\frac {Q(x|x')}{Q(x'|x)}}\right)}$ ；
3. 接受或拒绝
  1. 从 $[0,1]$ 的均匀分布中生成随机数 $u$ ；
  2. 如 $u\leq A(x'|x)$ ，则接受该状态，并令 $x_{t+1}=x'$ ；
  3. 如 $u>A(x'|x)$ ，则拒绝该状态，并令 $x_{t+1}=x_{t}$ （复制原状态）；
4. 增量：令 ${\textstyle t=t+1}$ ；

注释

^ 该分布称为提议分布（proposal distribution），当其对称时（即满足 $Q(x'|x)=Q(x|x')$ ），是梅特罗波利斯－黑斯廷斯算法的一类特例，称为梅特罗波利斯算法（Metropolis algorithm）。

参考文献

^ Metropolis, N.; Rosenbluth, A.W.; Rosenbluth, M.N.; Teller, A.H.; Teller, E. Equations of State Calculations by Fast Computing Machines. Journal of Chemical Physics. 1953, 21 (6): 1087–1092. Bibcode:1953JChPh..21.1087M. doi:10.1063/1.1699114.
^ Hastings, W.K. Monte Carlo Sampling Methods Using Markov Chains and Their Applications. Biometrika. 1970, 57 (1): 97–109. JSTOR 2334940. Zbl 0219.65008. doi:10.1093/biomet/57.1.97.

Bernd A. Berg. Markov Chain Monte Carlo Simulations and Their Statistical Analysis. Singapore, World Scientific, 2004.
Siddhartha Chib and Edward Greenberg: "Understanding the Metropolis–Hastings Algorithm". American Statistician, 49(4), 327–335, 1995
David D. L. Minh and Do Le Minh. "Understanding the Hastings Algorithm." Communications in Statistics - Simulation and Computation, 44:2 332-349, 2015
Bolstad, William M. (2010) Understanding Computational Bayesian Statistics, John Wiley & Sons ISBN 0-470-04609-0

[3] 该分布称为提议分布（proposal distribution），当其对称时（即满足 $Q(x'|x)=Q(x|x')$ ），是梅特罗波利斯－黑斯廷斯算法的一类特例，称为梅特罗波利斯算法（Metropolis algorithm）。

[metropolis-1] Metropolis, N.; Rosenbluth, A.W.; Rosenbluth, M.N.; Teller, A.H.; Teller, E. Equations of State Calculations by Fast Computing Machines. Journal of Chemical Physics. 1953, 21 (6): 1087–1092. Bibcode:1953JChPh..21.1087M. doi:10.1063/1.1699114.

[Hastings-2] Hastings, W.K. Monte Carlo Sampling Methods Using Markov Chains and Their Applications. Biometrika. 1970, 57 (1): 97–109. JSTOR 2334940. Zbl 0219.65008. doi:10.1093/biomet/57.1.97.

[1]

[2]

[注 1]