控制变量法

假设要估计的参数为${\displaystyle \mu }$ 。同时对于统计${\displaystyle m}$ ，其期望值为${\displaystyle \mu }$ ：${\displaystyle \mathbb {E} \left[m\right]=\mu }$ ，即${\displaystyle m}$ 是${\displaystyle \mu }$ 的无偏差估计。此时，对于另一个统计${\displaystyle t}$ ，已知${\displaystyle \mathbb {E} \left[t\right]=\tau }$ 。于是，

${\displaystyle m^{\star }=m+c\left(t-\tau \right)\,}$ 

也是${\displaystyle \mu }$ 的无偏差估计，${\displaystyle c}$ 为任一给定系数。${\displaystyle m^{\star }}$ 的方差为

${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)={\textrm {Var}}\left(m\right)+c^{2}\,{\textrm {Var}}\left(t\right)+2c\,{\textrm {Cov}}\left(m,t\right);}$ 

可以证明，使得方差最小的系数${\displaystyle c}$ 为

${\displaystyle c^{\star }=-{\frac {{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}};}$ 

此时，对应的方差则为

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)&={\textrm {Var}}\left(m\right)-{\frac {\left[{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)\right]^{2}}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}\\&=\left(1-\rho _{m,t}^{2}\right){\textrm {Var}}\left(m\right);\end{aligned}}}$ 

其中

${\displaystyle \rho _{m,t}={\textrm {Corr}}\left(m,t\right)\,}$ 

为${\displaystyle m}$ 与${\displaystyle t}$ 之间的相关系数。${\displaystyle \vert \rho _{m,t}\vert }$ 越大时，方差越小。

当${\displaystyle {\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}$ 、${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(t\right)}$ 或${\displaystyle \rho _{m,t}\;}$ 未知时，可以通过蒙特卡洛模拟进行估计。由于该方法相当于一个最小二乘法系统，又被称为回归抽样（regression sampling）。

假设我们要使用蒙特卡洛方法估计

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x,}$ 

即估计

${\displaystyle f(U)={\frac {1}{1+U}}}$ 

的期望值。其中，${\displaystyle U}$ 满足均匀分布。假设有n个样本${\displaystyle u_{1},\cdots ,u_{n}}$ ，该估计可表示为

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i});}$ 

此时，我们引入控制变量${\displaystyle g(U)=1+U}$ ，其已知期望值为${\displaystyle \mathbb {E} \left[g\left(U\right)\right]=\int _{0}^{1}(1+x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {3}{2}}}$ 。由此，可以得到新的估计

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i})+c\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}g(u_{i})-3/2\right).}$ 

以下为${\displaystyle n=1500}$ 并使用估计的最优系数${\displaystyle c^{\star }\approx 0.4773}$ 时，一次蒙特卡洛模拟所给出的积分估计值：

• Ross, Sheldon M. (2002) Simulation 3rd edition ISBN 978-0-12-598053-1
• Averill M. Law & W. David Kelton (2000), Simulation Modeling and Analysis, 3rd edition. ISBN 0-07-116537-1
• S. P. Meyn (2007) Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88441-9. Downloadable draft (Section 11.4: Control variates and shadow functions)