费波那契质数

费波那契质数为费波那契数列Fn中的质数，其前几项例子为:

F3=2, F4=3, F5=5, F7=13, F11=89, F13=233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, ....OEIS A005478

已知费波那契质数

未解决的数学问题：是否存在无限多个费波那契质数？  

目前并不清楚是否存在无限多个费波那契质数。前33个费波那契质数在费波那契数列中的项指标n为：

n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 37511, 50833, 81839。   A001605

除了这些已证明的费波那契质数，以下指标n所代表的费波那契数为可能质数（英语：Probable prime）：

n = 104911, 130021, 148091, 201107, 397379, 433781, 590041, 593689, 604711, 931517, 1049897, 1285607, 1636007, 1803059, 1968721, 2904353.[1]

除了n = 4的例子之外，所有费波那契质数的指标n也是质数，因为当a可整除b时， 也可整除 。

在前10个质数p中，有8个p所对应的Fp也是质数—例外包括F2 = 1及F19 = 4181 = 37 × 113。然而当项指标增大时，费波那契质数越来越稀少。在10,000之内的1,229个质数p中，仅有26个对应到费波那契质数Fp（见上方例子n = 3, 4, 5, 7, ..., 9677，共26个）。[2]

截至2014年8月 (2014-08)，已知最大的费波那契质数为F81839，共有17103位数。其为质数的结果是由David Broadhurst与Bouk de Water于2001年证明。[3][4] 最大的可能费波那契质数为F2904353，共有606974位数，由Henri Lifchitz于2014年发现。[1]

另一方面，Nick MacKinnon证明了费波那契数列中，仅3, 5, 13三个数是孪生质数的成员。[5]

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 PRP Top Records, Search for : F(n) （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Retrieved 2014-08-12.
  2. ^ Sloane's A005478, A001605
  3. ^ Number Theory Archives announcement by David Broadhurst and Bouk de Water. [2015-01-18]. （原始内容存档于2021-04-28）. 
  4. ^ Chris Caldwell, The Top Twenty: Fibonacci Number （页面存档备份，存于互联网档案馆） from the Prime Pages. Retrieved 2009-11-21.
  5. ^ N. MacKinnon, Problem 10844, Amer. Math. Monthly 109, (2002), p. 78

外部链接