波尔文积分

波尔文积分(英语:Borwein integral)是一种由波尔文父子发现的性质特殊的积分,常用于作为看似存在的数学规律最终失效的例子。2001年,大卫·波尔文(David Borwein)和乔纳森·波尔文英语Jonathan Borwein共同发表了这个涉及sinc函数的积分[1]

常见的例子为:

这种规律一直到

都是成立的。

但是到了下一个数,这个规律就突然失效了:

公式

对于给定的一系列非零实数,即 ,可以给出 的封闭公式形式。为了计算这个公式,其中需要做的就是计算含有 相关的量之和。特别的,设 即由 构成的 元组,于是可以写成 即有关 的各种加减形式的总和,并且令 (其结果为 )。基于上述定义,可以得到该积分的值为:

 

其中:

 

在这里如果 ,那么有 

进一步地,如果存在一个 对于每个 总有 成立,并且有 ,即 为首次超过 的前几项之和时的元素数量,即当 时有 ,但在其他情况时:

 

在这里令 ,即当  ,此时 但是 ,又由于 ,于是该公式成立(并且移去其中任何因子也成立):

 

但在另一方面,则有:

 

即与前面给出的公式的结果相同。

参考资料

  1. ^ Borwein, David; Borwein, Jonathan M., Some remarkable properties of sinc and related integrals [sinc函数及其相关积分的一些引人注意的性质], The Ramanujan Journal, 2001, 5 (1): 73–89, ISSN 1382-4090, MR 1829810, doi:10.1023/A:1011497229317 (英语)