达布定理

19世纪时，大部分数学家认为介值定理已经可以刻画出连续函数。但在1875年，让·加斯东·达布证明这个想法是错误的，因为连续函数的导函数仍然具有介值性质，但不一定是连续函数。一个很常用的反例是函数：

${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$  当${\displaystyle x\neq 0}$ 

${\displaystyle h(0)=0}$  当${\displaystyle x=0}$ 

其导数在0处并不连续。

设${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ 为闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上的实值可导函数，那么对介于${\displaystyle f'(a)}$ 和${\displaystyle f'(b)}$ 之间的任意${\displaystyle t}$ ，存在${\displaystyle x}$ 属于${\displaystyle [a,b]}$ 使得${\displaystyle f'(x)=t}$ 。

不失一般性，我们可假设${\displaystyle f\,'_{+}(a)>t>f\,'_{-}(b)}$ 。又设${\displaystyle g(x):=f(x)-tx}$ ，则 ${\displaystyle g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)}$ 。只需找到${\displaystyle g'}$ 在${\displaystyle [a,b]}$ 上的一个零点即可。

由于${\displaystyle g}$ 是${\displaystyle [a,b]}$ 上的连续函数，由极值定理，${\displaystyle g}$ 在${\displaystyle [a,b]}$ 上达到极大值。由于${\displaystyle g'_{+}(a)>0}$ ，极大值不在${\displaystyle a}$ 处取到。同理，由于${\displaystyle g'_{-}(b)<0}$ ，极大值也不在b处取到。设${\displaystyle x}$ 为取到极大值的点，这时，${\displaystyle g\,'(x)=0}$ 。于是定理得证。

• 让·加斯东·达布
• 介值定理

• 万丽 , 李少琪 , 阎庆旭，《微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广》，《数学的实践与认识》2003年11期
• 潘继斌，《达布(Darboux)定理及其应用》，《湖北师范学院学报（自然科学版）》2000年01期

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