拉东-尼科迪姆定理

拉东-尼科迪姆定理是数学中测度论里的一个结果。拉东-尼科迪姆定理说明了在给定了一个测度空间 $(X,\Sigma )$ 的时候，如果测度空间 $(X,\Sigma )$ 上的一个σ-有限测度 $\nu$ 关于另一个σ-有限测度 $\mu$ 绝对连续，那么存在一个在 $X$ 上可测的函数 $f$ ，其取值范围为非负实数（ $[0,\infty )$ ），并且对所有的可测集合 $A$ ，都有：

\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu

这个定理得名于数学家约翰·拉东以及欧顿·尼科迪姆（英语：Otto M. Nikodym）。拉东在1913年证明了这个定理在背景空间为 $R^{N}$ 时的情况；尼科迪姆则在1930年证明了定理的一般情形^[1]。1936年，汉斯·弗洛伊登萨（英语：Hans Freudenthal）将这个定理推广，证明了里斯空间理论中的弗洛依登萨谱定理。拉东·尼科迪姆定理是后者的一个特例。

拉东-尼科迪姆导数是 ^[2]

f={\frac {d\nu }{d\mu }}

属性

$\lambda$ 几乎处处： ${\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}.$
若 ν ≪ μ ≪ λ, 则 $\lambda$ 几乎处处： ${\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}.$
若 μ ≪ ν 以及 ν ≪ μ, 则 $\nu$ 几乎处处： ${\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.$
若 μ ≪ λ 则 $\int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .$
${d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.$

参考来源

^ Nikodym, O. Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon (PDF). Fundamenta Mathematicae. 1930, 15: 131–179 [2009-05-11]. （原始内容 (PDF)存档于2016-09-09）（法语）.
^ Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces: Elias M. Stein and Rami Shakarchi. [2021-09-30]. （原始内容存档于2021-09-30）.

[1] Nikodym, O. Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon (PDF). Fundamenta Mathematicae. 1930, 15: 131–179 [2009-05-11]. （原始内容 (PDF)存档于2016-09-09）（法语）.

[2] Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces: Elias M. Stein and Rami Shakarchi. [2021-09-30]. （原始内容存档于2021-09-30）.

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