集合域

非空集类 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$  若满足以下条件：

1. ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$ ；
2. ${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {F}},A\cup B\in {\mathcal {F}},A\cap B\in {\mathcal {F}}}$ (对有限并、有限交封闭)；
3. ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {F}},A^{c}\in {\mathcal {F}}}$ (对补集运算封闭).

则称其为 ${\displaystyle \Omega }$  上的一个代数^[1]。

或者可以把代数定义为有元素 ${\displaystyle \Omega }$  和空集、对有限交（或有限并）和余集运算封闭的 ${\displaystyle \Omega }$  的子集类^[2]，这两者是等价的。

无论从哪个定义出发，利用德摩根定律和集合交与并运算的分配律，都可列出代数具有如下性质：空集和全集是它的元素、对有限并和有限交封闭、对补集运算封闭、对差集运算封闭。

一个代数也一定是一个环^[3]。用可列不交并封闭一个代数，将得到一个σ-代数^[2]:5，而后者是数学严格化测度论与概率论非常重要的一种集类。

其中用可列不交并封闭一个代数 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  得到的新集类定义是：

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\sum \!f}:=\left\{A|A=\sum _{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in {\mathcal {F}},i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,i,j=1,2,\cdots \right\}}$ 

• ${\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,}$  是 ${\displaystyle \Omega }$  的幂集布尔代数的子代数。在明确上下文时，亦称 F 为集合域。
• ${\displaystyle \Omega }$  的元素称为点，而 ${\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,}$  的元素称为复形。

集合域在布尔代数的表示理论中扮演中心角色。所有布尔代数都可以被表示为集合域。

• 内部代数
• 亚历山德罗夫拓扑（英语：Alexandrov topology）
• Stone布尔代数表示定理
• 史东对偶性（英语：Stone duality）
• 布尔环

• Goldblatt, R., Algebraic Polymodal Logic: A Survey, Logic Journal of the IGPL, Volume 8, Issue 4, p. 393-450, July 2000
• Goldblatt, R., Varieties of complex algebras, Annals of Pure and Applied Logic, 44, p. 173-242, 1989
• Johnstone, Peter T. Stone spaces 3rd edition. Cambridge: Cambridge University Press. 1982.   引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Naturman, C.A., Interior Algebras and Topology, Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics, 1991