概率母函数 此条目需要扩充。 (2013年10月24日)请协助改善这篇条目,更进一步的信息可能会在讨论页或扩充请求中找到。请在扩充条目后将此模板移除。在概率论里,一个离散随机变量的概率母函数是指该随机变量的概率质量函数的幂级数表达式。 目录 1 定义 1.1 单变量情形 1.2 多变量情形 2 注释 3 参考文献 定义 单变量情形 如果 X {\displaystyle X} 是在非负整数域 { 0 , 1 , . . . } {\displaystyle \{0,1,...\}} 上取值的离散随机变量,那么 X {\displaystyle X} 的概率母函数定义为 [1] G ( z ) = E ( z X ) = ∑ x = 0 ∞ p ( x ) z x , {\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},} 其中 p {\displaystyle p} 是 X {\displaystyle X} 的概率质量函数。 多变量情形 如果 X = ( X 1 , … , X d ) {\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{d})} 是在d-非负整数格 { 0 , 1 , … } d {\displaystyle \{0,1,\ldots \}^{d}} 上取值的离散随机变量,那么 X {\displaystyle X} 的概率母函数定义为 G ( z ) = G ( z 1 , … , z d ) = E ( z 1 X 1 ⋯ z d X d ) = ∑ x 1 , … , x d = 0 ∞ p ( x 1 , … , x d ) z 1 x 1 ⋯ z d x d , {\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},} 其中 p {\displaystyle p} 是 X {\displaystyle X} 的概率质量函数。 注释 ^ 存档副本 (PDF). [2013-10-24]. (原始内容存档 (PDF)于2018-10-24). 参考文献 Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete distributions (2nd edition). Wiley. 互联网档案馆)>