微分同胚

对给定的两个微分流形${\displaystyle M,N}$ ，若对光滑映射${\displaystyle f:M\to N}$ ，存在光滑映射${\displaystyle g:N\to M}$ 使得${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{N}}$ 、${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{M}}$ ，则称${\displaystyle f}$ 为微分同胚。此时逆映射${\displaystyle g}$ 是唯一的。

若在微分流形${\displaystyle M,N}$ 之间存在微分同胚，则称${\displaystyle M}$ 与${\displaystyle N}$ 是微分同胚的，通常记为${\displaystyle M\simeq N}$ 。

对于${\displaystyle C^{r}}$ 流形，可采同样办法定义${\displaystyle C^{r}}$ 微分同胚之概念。

考虑

${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq S^{1}}$ 

此微分同胚可由下述映射给出：

${\displaystyle x\mapsto e^{2\pi ix}.}$ 

对维度${\displaystyle \leq 3}$ 的流形，可证明同胚的流形必为微分同胚；换言之，此时流形上的拓扑结构确定了微分结构。在四维以上则存在反例，最早的构造是约翰·米尔诺的七维怪球，米尔诺更证明了七维球上恰有28种微分流形结构，它们都可表成某个在${\displaystyle S^{4}}$ 上的${\displaystyle S^{3}}$ -丛。在1980年代，西蒙·唐纳森与迈克尔·哈特利·弗里德曼的证明在${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ 上有不可数个相异的微分结构。

• D.V. Anosov, Diffeomorphism, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4