鞍点

广义而说，一个光滑函数（曲线，曲面，或超曲面）的鞍点邻域的曲线，曲面，或超曲面，都位于马鞍点点的切线的不同边。

检验二元实函数F(x,y)的驻点是不是鞍点的一个简单的方法，是计算函数在这个点的黑塞矩阵：如果该矩阵行列式小于0，则该点就是鞍点。例如，函数${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$ 在驻点${\displaystyle (0,0)}$ 的黑塞矩阵是：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}}$ 

此矩阵有两个特征值2，－2。它的行列式小于0，因此，这个点是鞍点。然而，这个条件只是充分条件，例如，对于函数${\displaystyle z=x^{4}-y^{4},}$ 点${\displaystyle (0,0)}$ 是一个鞍点，但函数在原点的黑塞矩阵是零矩阵，并不小于0.

对于一般的多元函数,驻点是鞍点的必要条件是该点的黑塞矩阵不定。

在一维空间里，鞍点是驻点，也是反曲点。因为函数图形在鞍点由凸转凹，或由凹转凸，鞍点不是区域性极点。

设一个只有一个变数的函数。这函数在鞍点的一次导数等于零，二次导数换正负符号·例如，函数 ${\displaystyle y=x^{3}\,}$ 就有一个鞍点在原点。

设一个拥有两个以上变数的函数。它的曲面在鞍点好像一个马鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅等高线图里，一般来说，当两个等高线圈圈相交叉的地点，就是鞍点。例如，两座山中间的山口就是一个鞍点。

• 驻点
• 拐点
• 极值
• 鞍部