反函数
隐函数的一个常见类型是反函数。若 是一个函数,那么 的反函数记作 , 是给出下面方程解的函数
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用x表示y。这个解是
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直观地,通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法,反函数给出该方程对于 的解
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例子
- 对数函数 给出方程 或等价的 的解 。 这里 并且 。
- 朗伯W函数则可以解出 的 值。
代数函数
一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如,单变量 的代数函数给出一个方程中 的解。
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其中系数 为 的多项式函数。
代数函数在数学分析和代数几何中扮演重要角色,我们再拿单位圆方程式来当作代数函数的范例:
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那么 的显函数解显然是:
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但其实我们不一定要把它的显函数解写出来,它也可以直接利用隐函数来表达。
对于y的二次、三次和四次方程,可以找到只包含有限次四则运算和开方运算的显函数解, 但这并不适用于包括五次在内的更高次数的方程(参见阿贝尔-鲁菲尼定理),例如:
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但是,我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:
方法一
- 把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
示例
把一元隐函数 看作二元函数 ,若欲求 ,对 取全微分,可得 ,经过移项可得
(式中 表示 关于 的偏导数 ,以此类推)。
把2元隐函数 看作3元函数 ,若欲求 ,对 取全微分,可得 。
由于所求为 ,令z为常数,即 ,经过移项可得
方法二
- 针对1元隐函数,把 看作 的函数,利用链式法则在隐函数等式两边分别对 求导,再通过移项求得 的值。
- 针对2元隐函数,把 看作 的函数,利用链式法则在隐函数等式两边分别对 求导,令 ,再通过移项求得 的值。
示例
- 针对 :
- 针对 :
- 求 中y对x的导数。
为了方便辨别相应的导数部分,各项都以不同颜色分开(常数则以黑色表示)。
1.两边皆取其相应的导数,得出
2.移项处理。
3.提出导数因子。
4.移项处理。
5.完成。得出其导数为 。
6.选择性步骤:因式分解。