悬链线悬链线(Catenary)是一种常用曲线,物理上用于描绘质量均匀分布而不可延伸的长链悬挂在两支点间,因均匀引力作用下而形成向下弯曲之曲线,因此而得名。 不同的悬链线 铁链形式的悬链线。 蜘蛛丝形成多个(近似的)悬链线。 虽然弯曲的形状看似二次方的抛物线,但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中证明因为绳子的张力会随着吊挂重量的不同,在底端为最小、愈高的地方愈大,如此一来,它所形成的形状就不是抛物线。 随后在1670年虎克根据力学推导出悬链线的数学特性。1691年莱布尼兹、惠更斯、约翰·白努利近一步推导出数学模型。 它的公式为: y = a cosh x a {\displaystyle y=a\cosh {\frac {x}{a}}} 或者简单地表示为 y = a ( e x a + e − x a ) 2 {\displaystyle y={\frac {a\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right)}{2}}} 其中cosh是双曲余弦函数, a {\displaystyle a} 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数, x {\displaystyle x} 轴为其准线。具体来说, a = T 0 g λ {\displaystyle a={\frac {T_{0}}{g\lambda }}} ,其中 g {\displaystyle g} 是重力加速度, λ {\displaystyle \lambda } 是线密度(假设绳子密度均匀),而 T 0 {\displaystyle T_{0}} 是绳子上每一点处张力的水平分量,它取决于绳子的悬挂方式;若绳子两端在同一水平面上,则下面的方程决定了 a {\displaystyle a} L a = sinh d a {\displaystyle {\frac {L}{a}}=\sinh {\frac {d}{a}}} 其中L是绳子总长的一半,d是端点距离的一半。 目录 1 方程的推导 2 工程中的应用 3 参考资料 4 外部链接 方程的推导 表达式的证明 如右图,设最低点 A {\displaystyle A} 处受水平向左的拉力 H {\displaystyle H} ,右悬挂点处表示为 C {\displaystyle C} 点,在 A C {\displaystyle AC} 弧线区段任意取一段设为 B {\displaystyle B} 点,则 A B {\displaystyle AB} 受一个斜向上的拉力 T {\displaystyle T} ,设 T {\displaystyle T} 和水平方向夹角为 θ {\displaystyle \theta } ,绳子的质量为 m {\displaystyle m} ,受力分析有: T sin θ = m g {\displaystyle T\sin \theta =mg} ; T cos θ = H {\displaystyle T\cos \theta =H} , tan θ = d y d x = m g H {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {mg}{H}}} , m g = ρ s {\displaystyle mg=\rho s} , 其中 s {\displaystyle s} 是右段 A B {\displaystyle AB} 绳子的长度, ρ {\displaystyle \rho } 是绳子线重量密度, tan θ {\displaystyle \tan \theta } 为切线方向,记 a = ρ H {\displaystyle a={\frac {\rho }{H}}} , 代入得微分方程 d y d x = a s {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=as} ; 利用弧长公式 d s = 1 + ( d y d x ) 2 d x {\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x} ; 所以 s = ∫ 1 + ( d y d x ) 2 d x {\displaystyle s=\int {\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x} ; 再把 s {\displaystyle s} 代入微分方程得 d y d x = a ∫ 1 + ( d y d x ) 2 d x ⋯ ⋯ ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=a\int {\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}{\mathrm {d} x}\ \cdots \cdots \ (1)} 对于 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 设 p = d y d x {\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} 微分处理 得 p ′ = ρ H 1 + p 2 ⋯ ⋯ ( 2 ) {\displaystyle p'={\frac {\rho }{H}}{\sqrt {1+p^{2}}}\ \cdots \cdots \ (2)} 其中 p ′ = d p d x = d 2 y d x 2 {\displaystyle p'={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}} ; 对(2)分离常量求积分 ∫ d p 1 + p 2 = ∫ a d x {\displaystyle \int {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}=\int adx} 得 l n ( p + 1 + p 2 ) = a x + C {\displaystyle ln(p+{\sqrt {1+p^{2}}})=ax+C} ,即 a r s i n h p = a x + C {\displaystyle \mathrm {arsinh} p=ax+C} 其中 a r s i n h p {\displaystyle \mathrm {arsinh} p} 为反双曲函数; 当 x = 0 {\displaystyle x=0} 时, d y d x = p = 0 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p=0} ; 带入得 C = 0 {\displaystyle C=0} ; 整理得 a r s i n h p = ρ x H {\displaystyle \mathrm {arsinh} p={\frac {\rho x}{H}}} 工程中的应用 悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用, a {\displaystyle a} 称作悬链系数。如果我们改变公式的写法,会给工程应用带来很大帮助,公式及图像如下: y = a ( cosh x a − 1 ) {\displaystyle y=a\ \left(\cosh {\frac {x}{a}}-1\right)} 还有以下几个公式,可能也有用: L = a sinh x a {\displaystyle L=a\ \sinh {\frac {x}{a}}} tan α = sinh x a {\displaystyle \tan \alpha =\sinh {\frac {x}{a}}} F 0 = a γ {\displaystyle F_{0}=a\ \gamma } 其中 L {\displaystyle L} 是曲线中某点到0点的链索长度, α {\displaystyle \alpha } 是该点的正切角, F 0 {\displaystyle F_{0}} 是0点处的水平张力, γ {\displaystyle \gamma } 是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。 参考资料 外部链接