包络定理 此条目需要扩充。 (2018年11月11日)请协助改善这篇条目，更进一步的信息可能会在讨论页或扩充请求中找到。请在扩充条目后将此模板移除。包络定理是带参数的最优化问题中的一个定理。这个定理的内容是，参数的值变动时，目标函数的变动只和参数的变动有关，而与自变量（因参数变动而引起）的变动无关。包络定理在最优化领域非常有用。 目录 1 具体表述 1.1 无约束的情形 1.1.1 证明 1.2 有约束的情形 2 参考文献 3 参见 具体表述 无约束的情形 设 f ( x , α ) {\displaystyle f(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\alpha }})} 是 R n + l {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+l}} 上的可微实函数，其中 x ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}} 是自变量， α ∈ R l {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{l}} 是参数，目标是选择适当的 x {\displaystyle \mathbf {x} } 以最大化/最小化 f {\displaystyle f} 。设 V ( α ) = f ( x ∗ , α ) {\displaystyle V({\boldsymbol {\alpha }})=f(\mathbf {x} ^{*},{\boldsymbol {\alpha }})} ，其中 x ∗ {\displaystyle \mathbf {x} ^{*}} 为 f {\displaystyle f} 取最大值/最小值时的 x {\displaystyle \mathbf {x} } ，则包络定理即 d V d α = ∂ f ∂ α | x = x ∗ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\alpha }}}}\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}} 。[1][2]证明 根据全微分公式有 d V = d f | x = x ∗ = ( ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i d x i + ∑ i = 1 l ∂ f ∂ α i d α i ) | x = x ∗ {\displaystyle \mathrm {d} V=\left.\mathrm {d} f\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}=\left.\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}+\sum _{i=1}^{l}{\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}\mathrm {d} \alpha _{i}\right)\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}} 。因为 x {\displaystyle \mathbf {x} } 取最值时必有 f {\displaystyle f} 对 x i {\displaystyle x_{i}} 的一阶偏导数为零，即 ∂ f ∂ x | x = x ∗ = 0 {\displaystyle \left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}=0} ，故可得到 d V = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ α i d α i | x = x ∗ {\displaystyle \mathrm {d} V=\left.\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}\mathrm {d} \alpha _{i}\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}} ，也即 d V d α = ∂ f ∂ α | x = x ∗ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\alpha }}}}\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}} 成立。 有约束的情形 在无约束的情形下加上 m {\displaystyle m} 个同样可微的实约束函数 g j ( x , α ) = 0 {\displaystyle g_{j}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\alpha }})=0} ，则包络定理变为 d V d α = ∂ L ∂ α | x = x ∗ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}}=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\alpha }}}}\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}} ，其中 L ( x , λ , α ) = f ( x , α ) + ∑ j = 1 m λ j ( α ) g j ( x , α ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\alpha }})=f(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\alpha }})+\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}({\boldsymbol {\alpha }})g_{j}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\alpha }})} 是拉格朗日函数。 证明过程与无约束时类似，只是 x {\displaystyle \mathbf {x} } 取最值时 ∂ f ∂ x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=0} 变为 ∂ L ∂ x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=0} 。 参考文献 ^ Afriat, S. N. Theory of Maxima and the Method of Lagrange. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1971, 20 (3): 343–357. doi:10.1137/0120037. ^ Takayama, Akira. Mathematical Economics Second. New York: Cambridge University Press. 1985: 137–138 [2018-11-10]. ISBN 0-521-31498-4. （原始内容存档于2017-02-22）. 参见 霍特林引理 谢泼德引理 罗伊恒等式