韦尔莱算法是一种用于求解牛顿运动方程的数值方法,被广泛应用于分子动力学模拟以及视频游戏中。韦尔莱算法的优点在于:数值稳定性比简单的欧拉方法高很多,并保持了物理系统中的时间可逆性与相空间体积元体积守恒的性质。
Carl Størmer首次应用韦尔莱算法求解磁场中运动粒子的轨迹,因此韦尔莱算法又被称为Størmer算法。1967年法国物理学家Loup Verlet将其应用于分子动力学计算,从此韦尔莱算法流行起来。
基本韦尔莱算法
牛顿运动方程为
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代入到粒子的坐标关于时间步的Taylor展式中
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得
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同理
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两式相加,得
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则
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新位置的计算误差为四阶, 为时间步。因为韦尔莱算法中不涉及速度,如果希望得到速度,须从轨线中推导速度表达式:
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速度表示的韦尔莱算法
一般地,速度表示下的韦尔莱算法更为常用,它可以给出同一时间变量下的速度和位置。它实际上与基本的韦尔莱算法等价,精度相同。
首先对位置进行 Taylor 展开
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对两式相减可得
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将最初的 Verlet 公式中的 换为 ,
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代入前式,可得
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此式即为速度表示的韦尔莱算法。实际常用的计算步骤为,
1.首先通过 Taylor 展开 计算得到位置
2.由 和系统的相互作用势条件(如果相互作用仅依赖位置 )可以求的力场
3.由速度表示的韦尔莱公式求出新的速度 。
参考文献
- Daan Frenkel. 第四章. "Understanding Molecular Simulation - From Algorithms to Applications" Academic Press. 2002.