有限体积法

一维平流问题：

${\displaystyle \quad (1)\qquad \qquad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.}$ 

${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)\ }$ 在这里代表状态变量， ${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)\ }$ 代表的通量或流量${\displaystyle \rho \ }$  。习惯上，${\displaystyle f\ }$ 正值代表向右流动，而${\displaystyle f\ }$ 负值代表向左流动。如果假设式（1）表示恒定面积的流动介质，则可以空间域 ${\displaystyle x\ }$  ，细分为数个网格单元，以每个网格单元所占的有限体积以${\displaystyle i\ }$ 作为标记 。对于特定的单元${\displaystyle i\ }$  ，我们可以定义该体积某物理量（ 压力、温度等 ）之通量或流量平均值${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)\ }$ 在时间${\displaystyle {t=t_{1}}\ }$ 和${\displaystyle {x\in \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}\ }$  ，如式（2）

${\displaystyle \quad (2)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,}$ 

而在时间${\displaystyle {t=t_{2}}\ }$ 时式（2）可写为：

${\displaystyle \quad (3)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,}$ 

此处${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}\ }$ 和${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}\ }$ 分别代表上游和下游面或网格单元的交界面位置${\displaystyle i^{th}\ }$ 。

将式（1）积分，可得：

${\displaystyle \quad (4)\qquad \qquad \rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,}$ 

当${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$  。

为了得到在时间${\displaystyle t=t_{2}\ }$  的有限体积平均值${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$ ，在此积分位于整个有限体积的所有网格的流量${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$ ，并${\displaystyle \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}$ 并将计算结果除以${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}$  ，即可得：

${\displaystyle \quad (5)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.}$ 

我们可以逆向积分的顺序。同样，请记住，流量垂直于单元的表面。现在，因为一维${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$  ，我们可以应用散度定理，即${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$  ，并用的值代替散度的体积积分${\displaystyle f(x)\ }$ 在网格单元表面计算（某单元与其他单元之前后交界面${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}\ }$ 和${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}\ }$  ）的有限体积如下：

${\displaystyle \quad (6)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt\right).}$ 

当${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f\left(x_{i\pm {\frac {1}{2}}},t\right)}$  。

因此，对于上述问题，我们可以得出一个半离散的数值格式，其单元中心的索引为${\displaystyle i\ }$  ，且单元交界面通量的索引为${\displaystyle i\pm {\frac {1}{2}}}$  ，通过对时间对式（6）进行微分，可得：

${\displaystyle \quad (7)\qquad \qquad {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+{\frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}\right]=0,}$ 

通过某单元交界面通量的值${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}}$ 可以通过对单元平均值进行内插或外推来获得。式（7）对于该有限体积的平均值是精确的，因为在推导过程中未进行任何近似。

该方法也可以应用于2D形况，只要同时考虑单元四周交界面，北面、南面、东面和西面即可。

我们还可以考虑以下PDE代表的一般守恒定律问题，

${\displaystyle \quad (8)\qquad \qquad {{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.}$ 

此处 ${\displaystyle {\mathbf {u} }\ }$ 代表状态向量${\displaystyle \mathbf {f} \ }$ 代表相应的通量张量。同样，我们可以将空间域细分为有限体积的网格单元。对于特定的网格单元${\displaystyle i\ }$  ，将体积积分乘以单元的总体积 ${\displaystyle v_{i}\ }$  ， 如式（9）。

${\displaystyle \quad (9)\qquad \qquad \int _{v_{i}}{{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.}$ 

将第一项积分可得体积平均值，然后将散度定理应用于第二项，可得：

${\displaystyle \quad (10)\qquad \qquad v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },}$ 

此处${\displaystyle S_{i}\ }$ 代表单元的总表面积， ${\displaystyle {\mathbf {n} }}$ 是垂直于表面并指向外的单位向量。最后，可得一般结果如式（11）。

${\displaystyle \quad (11)\qquad \qquad {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.}$ 

同样的，可以通过对单元平均值进行内插或外推来重建交界面通量的值。实际的数值将取决于问题的几何形状和軮格结构。

有限体积方案是守恒的，因为单元平均会通过交界面通量而变化。换句话说，某个单元所损失的物理量，必定会通过交界面而被另一单元所获得！

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• Finite volume methods （页面存档备份，存于互联网档案馆） by R. Eymard, T Gallouët and R. Herbin（英语：Raphaèle Herbin）, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
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