施图姆-刘维尔理论

在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆（1803–1855）和约瑟夫·刘维尔（1809–1882）的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程：

{\frac {d}{dx}}\!\!\left[\,p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,

(1)

其中给定系数函数 $p (x)$ , $q (x)$ , 和 $w (x)$ 均为已知函数，和 $y$ 是以 $x$ 为自由变量的未知的待求解函数，称为解； $\lambda$ 是一个未定常数。 $w (x)$ 又记为 $r (x)$ ，称为'权（weight）'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。

在一个正则的施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题中，在有界闭区间[a,b]上，三个系数函数 $p(x),w(x),q(x)$ 应满足以下性质：

$p(x)>0,w(x)>0$ ；
$p(x),p'(x),w(x),q(x)$ 均连续；
$y(x)$ 满足边界条件 $\alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0$ 及 $\beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0$ （ $\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}>0,\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}>0$ ）。

只有一些恰当的 $\lambda$ 能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些 $\lambda$ 称为方程的特征值，对应的非平凡解称为特征函数，而特征函数的集合则称为特征函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特征值的存在性和渐近性，以及特征函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出：

施图姆-刘维尔特征值问题，存在无限多个实数特征值，而且可以排序为：

\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots ,\lim _{n\rightarrow \infty }\lambda _{n}=\infty

；

对于每一个特征值 $\lambda _{n}$ 都有唯一的（已被归一化的）特征函数 $y_{n}(x)$ ，且 $y_{n}(x)$ 在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中 $y_{n}(x)$ 称为满足上述施图姆-刘维尔特征值问题的第n个基本解；
已归一化的特征函数族在希尔伯特空间 $L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)$ 上有正交性和完备性，形成一组正交基：

\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{mn}

其中

\delta _{mn}

是克罗内克函数。

一些函数的施图姆-刘维尔形式

只要乘以一个恰当的积分因子，所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。

贝塞尔方程

x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\nu ^{2})y=0\,

等价于：

(xy')'+(x-\nu ^{2}/x)y=0.\,

勒让德方程

(1-x^{2})y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0\;\!

注意到 D(1 − x²) = −2x，因此等价于：

[(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0\;\!

使用积分因子的例子

x^{3}y''-xy'+2y=0.\,

两边同时除以x³:

y''-{x \over x^{3}}y'+{2 \over x^{3}}y=0

再乘以积分因子：

\mu (x)=e^{\int -{x/x^{3}}\,\mathrm {d} x}=e^{\int -{1/x^{2}}\,\mathrm {d} x}=e^{1/x},

得到：

e^{1/x}y''-{e^{1/x} \over x^{2}}y'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0

又注意到：

De^{1/x}=-{e^{1/x} \over x^{2}}

因此原方程等价于：

(e^{1/x}y')'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0.

一般形式二阶常微分方程的积分因子

P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,

两边同时乘以积分因子：

\mu (x)={1 \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x},

整理后得到：

{d \over dx}(\mu (x)P(x)y')+\mu (x)R(x)y=0

或者把积分因子写出来：

{d \over dx}(e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y')+{R(x) \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y=0

参阅

简正模