数学中,粘性解是20世纪80年代早期由皮埃尔-路易·利翁和Michael G. Crandall作为对偏微分方程(PDE)经典解的扩展而引入的。粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的,例如优化控制中的一阶偏微分方程(哈密顿-雅可比-贝尔曼方程),微分对策中(Hamilton–Jacobi–Isaacs equation),前端演化问题(front evolution problem)[1],还有二阶方程,例如在随机优化控制或随机微分博弈(stochastic differential game)中出现的。
经典的概念是在域中PDE
有解,如果能找到在整个域上连续且可微的函数u(x),使得x, u和Du(u的微分)在每个点都满足上面的等式。
在粘性解的意义下,u不需要在每个点都可微。可能在有些点上Du不存在,即u中存在扭结(kink)但u在适当意义下满足等式。虽然在某个点上Du可能不存在,但可以使用下面定义的上微分(superdifferential)和下微分(subdifferential)代替。
定义1.
定义2.
一般地,集合中的每个是在"斜率"(slope)的一个上界,集合中每个是在"斜率"(slope)的一个下界。
定义3. 连续函数u是上面PDE的一个粘性上解(viscosity subsolution),如果满足
定义4. 连续函数u是上面PDE的一个粘性下解(viscosity supersolution),如果满足
- 。
定义5.连续函数u是PDE的一个粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解。
粘性解存在不需引入上(下)微分概念的等价定义,见Fleming与Soner书[2]中的第II.4节。