设所需求解的准线性偏微分方程为
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(1)
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其中 。
取某变量 ,令 对 求导数,可得
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(2)
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若定义 ,可知
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(3)
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即,求解的偏微分方程(1)的过程变作对联立的常微分方程组作积分
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(4)
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积分过程需要给定初始条件。一般初始条件给定的形式为 空间中的流形
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(5)
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将此曲面对应为 。
设想 和 依赖于变量 ,则 可作方程(5)中的初始值,即
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(6)
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从方程组(4)和初始条件(6)确定 和 后,可以得到解的隐式形式。如果可以解析消掉 ,则可获得显式形式的解。
沿着一阶偏微分方程的特征线, 偏微分方程简化为一个常微分方程. 沿着特征线求出对应常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解.
为了更好地解释这一方法, 考虑具有以下形式的偏微分方程
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(1)
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假设解 u 已知, 考虑R3中的曲面 z = u(x,y). 曲面的法向量为
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那么,[1] 方程 (1) 表示向量场
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与曲面 z = u(x,y) 在任意点处相切. 换句话说, 解函数的图像必定是该向量场的积分曲线的并. 这些积分曲线被称作偏微分方程的特征线.