薛定谔-牛顿方程

薛定谔-牛顿方程是在普通薛定谔方程中引入了自相互作用引力势得到的一个耦合系统

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi +m\Phi \Psi \,,}$ 

其中V是普通势，引力势${\displaystyle \Phi }$ 则表示粒子与其自身引力场的相互作用，满足泊松方程

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi Gm|\Psi |^{2}\,.}$ 

由于波函数与引力势的耦合中，这是一个非线性系统。

方程的积分-微分形式是

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V-Gm^{2}\int {\frac {|\Psi (t,\mathbf {y} )|^{2}}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} \right]\Psi \,.}$ 

该形式是在假设势必须在无穷远处消失的情况下，通过对泊松方程的积分而得到的。