试除法

试除法是整数分解算法中最简单和最容易理解的算法。首次出现于意大利数学家费波那契出版于1202年的著作。

给定一个待分解的正整数n，试除法是用小于等于${\displaystyle {\sqrt {n}}}$的每个素数^[1][2]去试除。如果找到一个数能够整除除尽，这个数就是可分解整数的约数。若n为合数，则试除法一定能够找到n的素因数，因为n最小的素因数不大于其平方根，所以如果这个算法“失败”，也就证明了n是个素数。

某种意义上说，试除法是个效率非常低的算法，如果从2开始，一直算到${\displaystyle {\sqrt {n}}}$需要 ${\displaystyle \pi ({\sqrt {n}})}$次试除，这里${\displaystyle \pi (x)}$是小于x的素数的个数。这是不包括素性测试的。如果稍做变通——还是不包括素性测试——用小于${\displaystyle {\sqrt {n}}}$的奇数去简单的试除，则需要${\displaystyle {{\sqrt {n}} \over 2}}$次。这意味着，如果n有大小接近的素约数（例如公钥密码学中用到的），试除法是不太可能实行的。但是，当n有至少一个小约数，试除法可以很快找到这个小约数。值得注意的是，对于随机的n，2是其约数的概率是50％，3是33％，等等，88％的正整数有小于100的约数，91％的正整数有小于1000的约数。