同配性

联合度分布

网络的度分布${\displaystyle P(k)={\frac {n(k)}{N}}}$ 为一阶度分布，联合度分布可理解为二阶度分布，或网络度的联合概率分布。

联合度分布${\displaystyle e_{jk}=P(j,k)={\frac {m(j,k)\mu (j,k)}{2M}}}$ 为两个端点的度分别为j和k的概率，${\displaystyle m(j,k)}$ 为对应连边数，如果j=k，${\displaystyle \mu (j,k)=2}$ ，否则${\displaystyle \mu (j,k)=1}$ 

余度分布${\displaystyle q_{k}=P_{n}(k)=\sum _{j=k_{min}}^{k_{max}}P(j,k)}$ ，即网络度的边缘分布，表示随机顶点的邻居顶点为k的概率。

如果二阶度分布是完全随机的，即恒有${\displaystyle e_{jk}=q_{j}q_{k}}$ ，则网络不具有度相关性。^[1]

余平均度

余平均度是顶点i的邻居顶点的平均度，记为${\displaystyle <k_{nn}>_{i}={\frac {1}{k_{i}}}\sum _{j=1}^{k_{i}}k_{i_{j}}}$ ，度为k的顶点的余平均度记为${\displaystyle <k_{nn}>(k)={\frac {1}{i_{k}}}\sum _{v_{i}=1}^{i_{k}}<k_{nn}>_{v_{i}}}$ 。

${\displaystyle <k_{nn}>(k)=\sum _{k'=k_{min}}^{k_{max}}k'P_{c}(k'|k)={\frac {1}{q_{k}}}\sum _{k'=k_{min}}^{k_{max}}k'e_{kk'}}$ 

如果${\displaystyle <k_{nn}>(k)}$ 是k的增函数，那么就意味着平均而言，度大的顶点倾向于与度大的顶点连接，从而表明网络是同配的；反之，如果${\displaystyle <k_{nn}>(k)}$ 是k的减函数，那么就意味着平均而言，度大的顶点倾向于与度小的顶点连接，从而表明网络是异配的；如果网络不具有度相关性，那么${\displaystyle <k_{nn}>(k)}$ 是一个与k无关的常数：

${\displaystyle <k_{nn}>(k)={\frac {\sum _{j}je_{jk}}{\sum _{j}e_{jk}}}={\frac {\sum _{j}jq_{j}q_{k}}{q_{k}}}=\sum _{j}jq_{j}=\sum _{j}j{\frac {jp_{j}}{<k>}}={\frac {<k^{2}>}{<k>}}}$ ^[1]

同配系数

网络是度相关的就意味着${\displaystyle e_{jk}}$ 与${\displaystyle q_{j}q_{k}}$ 之间不恒等。可以考虑用两者之间的差的大小刻画网络的同配或者异配程度，即如下定义的度相关函数：

${\displaystyle <jk>-<j><k>=\sum _{j,k}jk(e_{jk}-q_{j}q_{k})}$ 

当网络为完全同配时，${\displaystyle e_{jk}=q_{k}\delta _{jk}}$ ，${\displaystyle <jk>-<j><k>}$ 达到最大值，即为余度分布${\displaystyle q_{k}}$ 的方差：

${\displaystyle \sigma _{q}^{2}=\sum _{k}k^{2}q_{k}-(\sum _{k}kq_{k})^{2}}$ 

于是得到归一化的相关系数，即同配系数，记为r：

${\displaystyle r={\frac {\sum _{j,k}jk(e_{jk}-q_{j}q_{k})}{\sigma _{q}^{2}}}}$ 

其中r>0代表网络同配，r<0代表网络异配，|r|的大小反映了网络同配或异配的强弱程度。

令属性值${\displaystyle x_{i}}$ 为度值${\displaystyle k_{i}}$ ，可从皮尔逊积矩相关系数计算同配系数：

${\displaystyle \displaystyle r={\frac {cov(x_{i},x_{j})}{\sigma _{x}^{2}}}={\frac {\displaystyle \sum _{i,j}(a_{ij}-{\frac {k_{i}k_{j}}{2M}})x_{i}x_{j}}{\displaystyle \sum _{i,j}(k_{i}\delta _{ij}-{\frac {k_{i}k_{j}}{2M}})x_{i}x_{j}}}={\frac {\displaystyle \sum _{i,j}(a_{ij}-{\frac {k_{i}k_{j}}{2M}})k_{i}k_{j}}{\displaystyle \sum _{i,j}(k_{i}\delta _{ij}-{\frac {k_{i}k_{j}}{2M}})k_{i}k_{j}}}}$ 

${\displaystyle \displaystyle ={\frac {S_{1}S_{e}-S_{2}^{2}}{S_{1}S_{3}-S_{2}^{2}}}={\frac {\displaystyle (\sum _{i}k_{i})(2\sum _{(i,j)\in E}k_{i}k_{j})-(\sum _{i}k_{i}^{2})^{2}}{\displaystyle (\sum _{i}k_{i})(\sum _{i}k_{i}^{3})-(\sum _{i}k_{i}^{2})^{2}}}}$ 

对于有向图，也可以利用皮尔逊积矩相关系数${\displaystyle r={\frac {\sum _{xy}xy(e_{xy}-a_{x}b_{y})}{\sigma _{a}\sigma _{b}}}}$ 计算，即${\displaystyle r={\frac {\sum _{j,k}jk(e_{jk}-q_{j}^{in}q_{k}^{out})}{\sigma _{in}\sigma _{out}}}}$ ^[1][2][3]

例子

N点星型网络，其中包括度为N-1的1个点，度为1的N-1个点

${\displaystyle P(N-1,1)=P(1,N-1)={\dfrac {1}{2}}}$ 

${\displaystyle q_{1}={\dfrac {1}{2}},q_{N-1}={\dfrac {1}{2}}}$ 

${\displaystyle \displaystyle \sum _{j,k}jk(e_{jk}-q_{j}q_{k})=(1)^{2}(-{\frac {1}{4}})+2(1)(N-1)({\frac {1}{4}})+(N-1)^{2}(-{\frac {1}{4}})={\frac {-(N-2)^{2}}{4}}}$ 

${\displaystyle \displaystyle \sigma _{q}^{2}=\sum _{k}k^{2}q_{k}-(\sum _{k}kq_{k})^{2}=(1)^{2}({\frac {1}{2}})+(N-1)^{2}({\frac {1}{2}})-({\frac {N}{2}})^{2}={\frac {(N-2)^{2}}{4}}}$ 

${\displaystyle r={\frac {\sum _{j,k}jk(e_{jk}-q_{j}q_{k})}{\sigma _{q}^{2}}}=-1}$ 

所以星型网络是异配的。

用另外一个公式会得到一样的值。

${\displaystyle S_{1}=2(N-1),S_{2}=N(N-1),S_{3}=(N-1)[(N-1)^{2}+1],S_{e}=2(N-1)^{2}}$ 

${\displaystyle r={\dfrac {S_{1}S_{e}-S_{2}^{2}}{S_{1}S_{3}-S_{2}^{2}}}={\dfrac {4(N-1)^{3}-N^{2}(N-1)^{2}}{2(N-1)^{2}[(N-1)^{2}+1]-N^{2}(N-1)^{2}}}}$ 

${\displaystyle ={\dfrac {4(N-1)-N^{2}}{2[(N-1)^{2}+1]-N^{2}}}={\dfrac {-(N-2)^{2}}{(N-2)^{2}}}=-1}$ 

• 同配系数的算法：get_assortative_coefficient （页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. ^ ^{1.0 1.1 1.2 1.3} 汪小帆 陈关荣. 网络科学导论. 
2. ^ M. E. J. Newman. Assortative mixing in networks (PDF). [2014-05-02]. （原始内容 (PDF)存档于2019-12-07）. 
3. ^ M. E. J. Newman. Mixing patterns in networks.