完美散列

对集合S的完美散列函数是一个将S的每个元素映射到一系列无冲突的整数的哈希函数。一个完美散列函数的应用与其他哈希函数的应用基本一致，但不需要任何冲突解决方案。在数学术语中，这是一个完全单射函数.

特性及使用

对于特定集合S的完美散列函数能在常数时间中被计算出，其映射值在一个相对小的范围内，能被一个随机化算法发现，该算法的操作次数与S的大小成正比.^[1]任何适合在哈希表中使用的完美散列函数需要至少与S的大小成正比的位数。

一个值的位数被限定范围的完美散列函数能应用于高效查找操作中：假定查找键(key)与集合S（或与集合S关联的值）对应，然后将完美散列函数应用于查找键，得到哈希值（一个整数），然后在查找表中取出该整数对应的值。在集合S极少更新且查询频率非常多的情况下，使用完美hash函数是非常有效的。对集合S更新频率的限定是由于对任何集合S的修改，都将导致该完美散列函数退化为非完美散列函数。每次集合S被修改后自动更新hash函数的解决方案被称为dynamic perfect hashing，但这类方法非常复杂，难以实现。一个简单的允许动态更新集合S的完美散列函数的替代品叫cuckoo hashing。

最小完美散列函数

最小完美散列函数是一个能将n个键（key）映射到n个连续的整数的完美散列函数。产生的值通常为 [0..n−1] 或 [1..n]。正式表述如下：设j和k是有限集合K的两个元素。F是一个最小完美散列函数iff F(j)=F(k)只在j=k的情况下成立(单射)；并且存在整数a，使得F的范围为a..a+|K|−1。已经在数学上证明，通用的完美hash函数至少需要每个键（key）1.44 比特（bit）^[2] 。而当前已知的最小完美hash散列函数每个键需要2.6 比特^[3]。

对一个最小完美散列函数F，若键以a₁, a₂, ..., a_n次序给出，对任意键a_j and a_k, j<k，意味着F(a_j)<F(a_k).^[4] Order-preserving minimal perfect hash functions require necessarily Ω(n log n) bits to be represented.^[5]，我们称该最小完美散列函数F是保序的。

若对一个最小完美散列函数F，其应用变换后得到的值保持了键（key）的字典序，我们称该最小完美散列函数F为单调的。在此情况下，函数产生的值就是输入的键在所有可能的有序键序列中的位置。若被hash的键被存储于有序数组中，已实现一种策略，对每个键存储少量附加位（bits），以取得更快计算hash值的优势。^[6]

请参阅

Dynamic perfect hashing
Pearson hashing
Succinct data structure
Universal hashing

索引

^ Fredman, M. L.; Komlós, J. N.; Szemerédi, E. Storing a Sparse Table with 0(1) Worst Case Access Time. Journal of the ACM. 1984, 31 (3): 538. doi:10.1145/828.1884.
^ Belazzougui, D.; Botelho, F. C.; Dietzfelbinger, M. Hash, Displace, and Compress. Algorithms - ESA 2009 (PDF). LNCS 5757. 2009: 682 [2016-02-13]. ISBN 978-3-642-04127-3. doi:10.1007/978-3-642-04128-0_61. （原始内容存档 (PDF)于2011-07-24）.
^ Baeza-Yates, Ricardo; Poblete, Patricio V., Searching, Atallah, Mikhail J.; Blanton, Marina (编), Algorithms and Theory of Computation Handbook: General Concepts and Techniques 2nd, CRC Press, 2010, ISBN 9781584888239 . See in particular p. 2-10
^ Jenkins, Bob, order-preserving minimal perfect hashing, Black, Paul E. (编), Dictionary of Algorithms and Data Structures, U.S. National Institute of Standards and Technology, 14 April 2009 [2013-03-05], （原始内容存档于2009-01-30）
^ Fox, E. A.; Chen, Q. F.; Daoud, A. M.; Heath, L. S. Order preserving minimal perfect hash functions and information retrieval. Proceedings of the 13th annual international ACM SIGIR conference on Research and development in information retrieval - SIGIR '90. 1990: 279. ISBN 0897914082. doi:10.1145/96749.98233.
^ Belazzougui, Djamal; Boldi, Paolo; Pagh, Rasmus; Vigna, Sebastiano, Theory and practice of monotone minimal perfect hashing, Journal of Experimental Algorithmics, November 2008, 16, Art. no. 3.2, 26pp, doi:10.1145/1963190.2025378 .

延伸内容

Richard J. Cichelli. Minimal Perfect Hash Functions Made Simple, Communications of the ACM, Vol. 23, Number 1, January 1980.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. Nivio Ziviani. "External perfect hashing for very large key sets"（页面存档备份，存于互联网档案馆）. 16th ACM Conference on Information and Knowledge Management (CIKM07), Lisbon, Portugal, November 2007.
Djamal Belazzougui, Paolo Boldi, Rasmus Pagh, and Sebastiano Vigna. "Monotone minimal perfect hashing: Searching a sorted table with O(1) accesses". In Proceedings of the 20th Annual ACM-SIAM Symposium On Discrete Mathematics (SODA), New York, 2009. ACM Press.
Djamal Belazzougui, Paolo Boldi, Rasmus Pagh, and Sebastiano Vigna. "Theory and practise of monotone minimal perfect hashing". In Proceedings of the Tenth Workshop on Algorithm Engineering and Experiments (ALENEX). SIAM, 2009.
Douglas C. Schmidt, GPERF: A Perfect Hash Function Generator, C++ Report, SIGS, Vol. 10, No. 10, November/December, 1998.

外部链接

Minimal Perfect Hashing（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Bob Jenkins
gperf（页面存档备份，存于互联网档案馆） is an Open Source C and C++ perfect hash generator
cmph（页面存档备份，存于互联网档案馆） is Open Source implementing many perfect hashing methods
Sux4J（页面存档备份，存于互联网档案馆） is Open Source implementing perfect hashing, including monotone minimal perfect hashing in Java
MPHSharp is Open Source implementing many perfect hashing methods in C#

[发现者-1] Fredman, M. L.; Komlós, J. N.; Szemerédi, E. Storing a Sparse Table with 0(1) Worst Case Access Time. Journal of the ACM. 1984, 31 (3): 538. doi:10.1145/828.1884.

[2] Belazzougui, D.; Botelho, F. C.; Dietzfelbinger, M. Hash, Displace, and Compress. Algorithms - ESA 2009 (PDF). LNCS 5757. 2009: 682 [2016-02-13]. ISBN 978-3-642-04127-3. doi:10.1007/978-3-642-04128-0_61. （原始内容存档 (PDF)于2011-07-24）.

[3] Baeza-Yates, Ricardo; Poblete, Patricio V., Searching, Atallah, Mikhail J.; Blanton, Marina (编), Algorithms and Theory of Computation Handbook: General Concepts and Techniques 2nd, CRC Press, 2010, ISBN 9781584888239 . See in particular p. 2-10

[4] Jenkins, Bob, order-preserving minimal perfect hashing, Black, Paul E. (编), Dictionary of Algorithms and Data Structures, U.S. National Institute of Standards and Technology, 14 April 2009 [2013-03-05], （原始内容存档于2009-01-30）

[5] Fox, E. A.; Chen, Q. F.; Daoud, A. M.; Heath, L. S. Order preserving minimal perfect hash functions and information retrieval. Proceedings of the 13th annual international ACM SIGIR conference on Research and development in information retrieval - SIGIR '90. 1990: 279. ISBN 0897914082. doi:10.1145/96749.98233.

[6] Belazzougui, Djamal; Boldi, Paolo; Pagh, Rasmus; Vigna, Sebastiano, Theory and practice of monotone minimal perfect hashing, Journal of Experimental Algorithmics, November 2008, 16, Art. no. 3.2, 26pp, doi:10.1145/1963190.2025378 .

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