小波压缩

小波压缩是一种资料压缩（data compression）的方式，主要的方式是利用离散小波转换来处理。同时也能适用于图像压缩（image compression）、视频压缩（video compression）、音频压缩（audio compression）。较广为人知的影像应用是JPEG 2000、DjVu、ECW（Enhanced Compression Wavelet）；在视频方面则有CineForm。这些方法都是为了将影像资料用更少的空间来存储文件，其中依据压缩方式又可以分成有损和无损。

压缩方法

以影像来说，是用二维离散的小波转换做压缩，以下就针对此方法做介绍。

图一

图一是二维离散小波转换的结构图，输入信号 ${\mathit {x[m,n]}}$ ，由结构图顺序可以得到

1.先沿n方向做离散小波转换得

{\mathit {v_{1,L}[m,n]}}=\sum _{k=0}^{K-1}x[m,2n-k]g[k]

{\mathit {v_{1,H}[m,n]}}=\sum _{k=0}^{K-1}x[m,2n-k]h[k]

2.再沿m方向得

{\mathit {x_{1,L}[m,n]}}=\sum _{k=0}^{K-1}v_{1,L}[2m-k,n]g[k]

{\mathit {x_{1,H_{1}}[m,n]}}=\sum _{k=0}^{K-1}v_{1,L}[2m-k,n]h[k]

{\mathit {x_{1,H_{2}}[m,n]}}=\sum _{k=0}^{K-1}v_{1,H}[2m-k,n]g[k]

{\mathit {x_{1,H_{3}}[m,n]}}=\sum _{k=0}^{K-1}v_{1,H}[2m-k,n]h[k]

上述过程即做完一阶二维的离散小波转换。图二是将影像经过处理的结果，可以看出在高频部分，左下角为水平方向的边缘；右上方为垂直方向的边缘；右下方为图形的角落。而左上角为低频，可继续做小波转换，分出更粗略、接近原影像的缩略图，来达到压缩效果。

图二

JPEG 2000

在小波压缩上应用最广的是在二维的影像处理，其中又以JPEG 2000为主。以下将针对JPEG 2000压缩流程作介绍。

图三

图三是JPEG 2000压缩加密的流程图，用以下步骤来说明：

向前小波转换

在做离散小波转换前，先将输入影像分割成砖块状格子（tiling），如图四

图四

将影像分成格子状，这么做可以增加想要凸显部分的质量；此外，即使某些方格内的信号在传输的过程中受到噪声破坏，还是能还原到肉眼所分辨不出来的程度。再用二维离散小波转换把格子分成许多频率子带（subband）组成。依离散小波转换的方式又可分为可逆与不可逆。可逆离散小波转换是Cohen-Daubechies-Feauveau（CDF）5/3小波，可分别应用于有损与无损压缩，如下表

k	Analysis lowpass filter ${\mathit {h_{L}}}(n)$	Analysis highpass filter ${\mathit {h_{H}}}(n)$	Synthesis lowpass filter ${\mathit {g_{L}}}(n)$	Synthesis highpass filter ${\mathit {g_{H}}}(n)$
-2	-1/8	0	0	-1/8
-1	2/8	-1/2	1/2	-2/8
0	6/8	1	1	6/8
1	2/8	-1/2	1/2	-2/8
2	-1/8	0	0	-1/8

不可逆离散小波转换是Cohen-Daubechies-Feauveau（CDF）9/7小波，只用于有损压缩，如下表所示

k	Analysis lowpass filter ${\mathit {h_{L}}}(n)$	Analysis highpass filter ${\mathit {h_{H}}}(n)$	Synthesis lowpass filter ${\mathit {g_{L}}}(n)$	Synthesis highpass filter ${\mathit {g_{H}}}(n)$
-4	0.026748757411	0	0	0.026748757411
-3	-0.016864118443	0.091271763114	-0.091271763114	0.016864118443
-2	-0.078223266529	-0.057543526229	-0.057543526229	-0.078223266529
-1	0.266864118443	-0.591271763114	0.591271763114	-0.266864118443
0	0.602949018236	1.11508705	1.11508705	0.602949018236
1	0.266864118443	-0.591271763114	0.591271763114	-0.266864118443
2	-0.078223266529	-0.057543526229	-0.057543526229	-0.078223266529
3	-0.016864118443	0.091271763114	-0.091271763114	0.016864118443
4	0.026748757411	0	0	0.026748757411

量子化

量子化值会随着不同子带有所调整，每个子带（以 ${\mathit {b}}$ 表示）原本的量子化小波系数为 ${\mathit {a_{b}}}(u,v)$ ，经过调整后为 ${\mathit {q_{b}}}(u,v)$ ，定义如下

{\mathit {q_{b}}}(u,v)=sign[{\mathit {a_{b}}}(u,v)]

\left\lfloor {\frac {a_{b}(u,v)}{\triangle _{b}}}\right\rfloor

其中 $\triangle _{b}$ 为量化步阶，且 $\triangle _{b}=2^{{\mathit {R_{b}}}-{\mathit {\varepsilon _{b}}}}\left(1+{\frac {\mu _{b}}{2^{11}}}\right)$ ${\mathit {R_{b}}}$ 代表子带 ${\mathit {b}}$ 标称动态范围（nominal dynamic range），游子袋中的最大值决定 ${\mathit {\varepsilon _{b}}}$ 和 $\mu _{b}$ 用来调整量化强度

另外，在无损压缩，当

\mu _{b}=0

且

{\mathit {R_{b}}}=\varepsilon _{b}

，量化步阶

\triangle _{b}=1

对有损压缩而言， $0\leq \varepsilon _{b}<2^{5}$ 且 $0\leq \mu _{b}<2^{11}$ ，量化步阶 $\triangle _{b}>1$

Tier编码器

tier编码器将量子化后的资料分成相关的比特及不相关的比特，变成有连贯性的消息后再经过算术编码，最后以数据包的形式发送。

效率控制

效率控制将传输影像比特率（bit rate）优化达到最小有损，使影像达到最佳质量。

参考

Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2009.http://djj.ee.ntu.edu.tw/TFW.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Wei-Yi Wei, “Image Coding by Adaptive Golomb Codes and the information of Adjacent Block,” Graduate Institute of Communication Engineering, College of Electrical Engineering and Computer Science, National Taiwan University, Master Thesis, June 2010.
Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, "Digital Image Processing", 2nd 2002, ISBN 0-20-118075-8
N. C. Shen, “Sectioned Convolution for Discrete Wavelet Transform”, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, 2008.