加法原理

设学校田径运动会中，学生要报名恰好一个项目，可以是田赛或径赛。若选田赛，则可以选跳高、跳远、铅球三项之一。若选径赛，则可以选一百米跑、四百米跑两项之一。

应用加法原理，共有${\displaystyle 3+2=5}$ 种报名方案。

容斥原理可以视为加法原理的推广，因为是同样计算若干个集合之并的大小，但不要求各集合两两互斥。其断言，若${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ 为有限集，则

${\displaystyle {\begin{aligned}{\biggl |}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr |}{}=\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|&-\sum _{i,j\,:\,1\leq i<j\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\right|\\&+\sum _{i,j,k\,:\,1\leq i<j<k\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right|-\ \cdots \ +\left(-1\right)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.\end{aligned}}}$ ^[4]

• 其他组合技巧如：
  • 乘法原理——组合计数原理，计算从两集合各取一个元素的方法数
  • 容斥原理——组合数学的计数技巧，重复数算的数目要扣除