热带几何

定义热带半环（又称极小-加法代数，见下述定义）为 ${\displaystyle (\mathbf {R} \cup \{\infty \},\oplus ,\otimes )}$ ，其运算为：

${\displaystyle x\oplus y=\min\{\,x,y\,\},\,}$ 

${\displaystyle x\otimes y=x+y.\,}$ 

此半环中的单项式不外就是线性映射；而多项式是对若干个线性映射取极小值，因此是个分片线性凹函数。称之为热带多项式。一个热带多项式 ${\displaystyle F}$  的非光滑点集合称为热带超曲面。可以证明：

1. 热带超曲面即是满足“零张力条件”的有理多面体复形。
2. 设 ${\displaystyle K}$  为皮瑟级数环，这是一个代数封闭的非阿基米德域。热带超曲面即 ${\displaystyle K}$  上的变形体。

上述两种刻划提供了组合学与代数学之间的对应。给定一个合适的代数问题，我们可将之转化为较易处理的组合问题以求解。

一如代数几何中的情形，热带超曲面的定义可以推广到热带簇：取 ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$  中的理想 ${\displaystyle I}$ ，定义相应的热带簇 ${\displaystyle V(I)}$  为 ${\displaystyle I}$  的变形体。可以证明 ${\displaystyle V(I)=\bigcap _{f\in I}V(f)}$ ，而且可取有限并集。

目前已有较深入研究的是平面上的热带几何。许多代数几何中的古典定理皆有相应的版本。

• First Steps in Tropical Geometry
• Tropical geometry of statistical models （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Tropical Grassmanian
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