卢卡斯数列

卢卡斯数列斐波那契数卢卡斯数的推广,以法国数学家爱德华·卢卡斯命名。

递推关系

给定两个整数PQ,满足:

 

则第一类卢卡斯数列Un(P,Q)和第二类卢卡斯数列Vn(P,Q)由以下递推关系定义:

 
 
 

以及

 
 
 

代数关系

卢卡斯数列的特征方程是:

 

它的判别式 ,它的根是:

 

注意ab是不同的,因为 

卢卡斯数列的项可以用ab的项定义如下:

 
 

从中我们可以推出以下关系:

 
 

其他关系

不少斐波那契数和卢卡斯数所满足的关系,在卢卡斯数列中也有类似的形式。例如:

一般 P=1, Q=-1
   
   
   
   
   
   

特殊名称

对于某些PQ的值,卢卡斯数列有特殊名称:

Un(1,−1):斐波那契数
Vn(1,−1):卢卡斯数
Un(2,−1):佩尔数
Un(1,−2):Jacobsthal数

应用

  • LUC是一个基于卢卡斯数列的密码系统

参考文献

  • Ribenboim, Paulo. My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. New York: Springer-Verlag. 2000. 0-387-98911-0. 
  • Arthur T. Benjamin; Jennifer J. Quinn. Proofs that Really Count. Mathematical Association of America. 2003: 35. ISBN 0883853337. 
  • Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).