皮亚诺公理

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

1. 0是自然数；
2. 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数；
3. 对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数；
4. 0不是任何自然数的后继数；
5. 任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对a' 也真。那么，命题对所有自然数都真。

其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。

若不将0视作自然数，则公理1,4,5中的“0”要换成“1”。

更正式的定义如下：

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组（X, x, f）：

• X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射。
• x不在f的值域内。（对应上面的公理4）
• f为一单射。（对应上面的公理3）
• 若A为X的子集并满足：
  • x属于A,且
  • 若a属于A,则f（a） 亦属于A

则A = X。

正式定义可以用谓词逻辑表示如下:

戴德金-皮亚诺结构可以描述为满足所有以下条件的三元组 (S, f, e)

• ${\displaystyle (e\in S)}$ 
• ${\displaystyle (\forall a\in S)(f(a)\in S)}$ 
• ${\displaystyle (\forall b\in S)(\forall c\in S)(f(b)=f(c)\rightarrow b=c)}$ 
• ${\displaystyle (\forall a\in S)(f(a)\neq e)}$ 
• ${\displaystyle (\forall A\subseteq S)(((e\in A)\land (\forall a\in A)(f(a)\in A))\rightarrow (A=S))}$ 

皮亚诺算术(PA)的公理:

• ${\displaystyle \forall x(Sx\neq 0)}$ 。
• ${\displaystyle \forall x,y((Sx=Sy)\Rightarrow x=y)}$ 。
• ${\displaystyle (\varphi [0]\wedge \forall x(\varphi [x]\Rightarrow \varphi [Sx]))\Rightarrow \forall x(\varphi [x])}$ ，对于在 PA 的语言中的任何公式 ${\displaystyle \varphi }$ 。
• ${\displaystyle \forall x(x+0=x)}$ 。
• ${\displaystyle \forall x,y(x+Sy=S(x+y))}$ 。
• ${\displaystyle \forall x(x\cdot 0=0)}$ 。
• ${\displaystyle \forall x,y(x\cdot Sy=(x\cdot y)+x)}$ 。

• 自然数
• 数学基础
• 古德斯坦定理
• 逻辑主义
• 印符数论

• Buss, Samuel R. Chapter II: First-Order Proof Theory of Arithmetic. Buss, Samuel R. (编). Handbook of Proof Theory. New York: Elsevier Science. 1998. ISBN 9780444898401. 

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• Smullyan, Raymond M. The Gödelian Puzzle Book: Puzzles, Paradoxes and Proofs. Dover Publications. December 2013. ISBN 978-0-486-49705-1. 

• Takeuti, Gaisi. Proof theory Second. Mineola, New York. 2013. ISBN 978-0486490731. 

• Murzi, Mauro. Henri Poincaré. 《互联网哲学百科全书》.  Includes a discussion of Poincaré's critique of the Peano's axioms.
• Podnieks, Karlis. 3. First Order Arithmetic. What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around. 2015-01-25: 93–121. 
• Hazewinkel, Michiel (编), Peano axioms, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 埃里克·韦斯坦因. Peano's Axioms. MathWorld. 
• Burris, Stanley N. What are numbers, and what is their meaning?: Dedekind. 2001.  Commentary on Dedekind's work.

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