柯尼希-费舍尔展开

最简单的定义Cornish-Fisher展开表达式的方式是待定系数法^[2]。假设我们有来自某分布 ${\displaystyle {\cal {F}}}$  的独立同分布随机变量 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$  ，现在要估计总体的某个泛函 ${\displaystyle \theta =\theta ({\cal {F}})}$  ，假设 ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$  是基于样本的一个估计，并且对该估计，成立以下的 ${\displaystyle K}$  阶Edgeworth展开

${\displaystyle \mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )\leq x)=\Phi (x)+\left\{\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot \Gamma _{k}(x)\right\}\cdot \varphi (x)+O(n^{-(K+1)/2})}$ 

其中 ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$  和 ${\displaystyle \varphi (\cdot )}$  分别是标准正态分布的CDF和PDF， ${\displaystyle \Gamma _{k}(\cdot )}$  是 ${\displaystyle x}$  的多项式，余项表示的是一致误差界，即它是精确分布和逼近分布的 ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$  距离。

那么对任何给定的 ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$  ，枢轴变量 ${\displaystyle n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )}$  的下 ${\displaystyle \alpha }$  分位数 ${\displaystyle \theta _{\alpha }}$  可以由下列Cornish-Fisher展开逼近：

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\alpha }:=z_{\alpha }-\left\{\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{k}(z_{\alpha })\right\}\cdot \varphi (z_{\alpha })}$ 

其中 ${\displaystyle z_{\alpha }}$  是标准正态分布的下 ${\displaystyle \alpha }$  分位数，系数 ${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{k}(y)}$  从以下的式子以待定系数法逐个解出

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y))=\Phi (y)+O(n^{-1})\\\mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)-n^{-1}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{2}(y))=\Phi (y)+O(n^{-3/2})\\\cdots &\cdots \\\mathbb {P} {\Bigg (}n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{k}(y){\Bigg )}=\Phi (y)+O(n^{-(K+1)/2})\end{aligned}}}$ 

例如，解第一个方程时，将 ${\displaystyle x=y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)}$  代回到Edgeworth展开里， ${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)}$  的解是（唯一的）能消去 ${\displaystyle n^{-1/2}}$  阶项的表达式。

一般来说，Cornish-Fisher展开与它所来自的Edgeworth展开拥有相同的逼近阶数和一致误差项，除非该Edgeworth展开带有跳跃点^[2]。