表达式

表达式有简单的，例如：

${\displaystyle 0+0}$ 

${\displaystyle 8x-5}$    （线性多项式）

${\displaystyle 7{{x}^{2}}+4x-10}$    （二次多项式）

${\displaystyle {\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}}$    （有理分式）

也有复杂的：

${\displaystyle f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t))\,dt.}$ 

数学表达式的各种形式包括了算术、多项式、代数、闭合形式和解析的表达式。下表列出了这些种类中所可能包含的元素。

语法

表达式是一个句法结构，它必须具有良好定义的形式。表达式中的运算符必须在正确位置有正确的输入数，组成这些输入的字符必须是有效的，具有明确的运算次序等。违反语法规则的字符，不会构成有效的数学表达式。例如，在一般算术符号中，表达式 1 + 2 × 3 是形式良好的，而下面的表达式则不是：

${\displaystyle \times 4)x+,/y}${\displaystyle \times 4)x+,/y}  .

语义

表达式的语义是对语句意义的研究，逻辑语义学是关于所传达的意义。在代数中，可用表达式指定一个值；而这个结果值取决于对式中变量所赋予的值，经由附加语义的运算符操作后以确定该值。语义的选择则根据表达式的上下文。同一个表达式 1 + 2 × 3 可能会有不同结果（依算数惯例的结果为7，也可能是9），这取决于上下文中隐含的运算次序。

语义规则可以声明某些表达式并无指定值（例如，当它们除以0时）；对这表达式称为未定义，但它们仍然以良好的形式表现出来。广义来说，表达式的意义并不局限于指定值；例如，表达式可用于指定条件，表示要被求解的方程，或将其视为可根据某些规则而操作的对象。有指定值的表达式同时也代表了有假设前提，例如与运算符${\displaystyle \oplus }$ 有关的假设前提，会指定一个内部的直接和（direct sum）。

形式语言和lambda演算

表达式和其赋值曾在1930年代由阿隆佐·邱奇和Stephen Kleene在其${\displaystyle \lambda }$ 演算中被公式化。${\displaystyle \lambda }$ 演算对现代数学和电脑编程语言的发展都曾有过重大的影响。

${\displaystyle \lambda }$ 演算有着一个更有趣的推论，在某些情况之下，两个表达式的等值与否是无法决定的。而且这个推论在任一和${\displaystyle \lambda }$ 演算有同样功用的系统内也都是成立的。

许多数学表达式中包括变量，变量又区分为自由变量或约束变量两种。对于自由变量赋值的一给定组合，进行对表达式的评估，然而这些赋值的某些组合在评估整句表达式后的结果，可能没有定义。因此一个表达式表示一个函数，其输入是赋予自由变量的值，其输出是表达式的结果值。

举例来说，表达式 ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ ，分别使自由变量 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  定值为 ${\displaystyle 10}$  和 ${\displaystyle 5}$ ，其输出为数字 ${\displaystyle 2}$ ；
但注意在 ${\displaystyle y}$  值为 ${\displaystyle 0}$  时，则这表达式没有定义。

数学表达式的评估取决于上下文背景对式中运算符的定义，赋值的定义域和评估结果的域。如果两个表达式之中的变量，对于它们赋值的每一种组合都产生相同的输出，则这两个表达式被认定为相等，即它们实为相同的函数。

例如，表达式 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}2nx}$  有自由变量 ${\displaystyle x}$ 、约束变量 ${\displaystyle n}$ 、常数 ${\displaystyle 1,2,3}$ 、两个内含的乘法算符和一个总和算符。
此一表达式和另一较简单的表达式 ${\displaystyle 12x}$  相等。${\displaystyle x=3}$  时的值为 ${\displaystyle 36}$ 。

• 表达式 (程式)
• 代数闭包
• 组合子逻辑
• 函数式编程
• 方程
• 不等

• Axiomatic Theory of Formulas - theory of expressions on high abstraction level.
• Plot mathematical expressions （页面存档备份，存于互联网档案馆） this system plots math equations, graphs, diagrams, and even animated cartoons of transformation of math expressions and arithmetic operations. Knowledge of TeX not required.