定理

1. 数学原理
2. 公理（也称公设）－公理是没有经过证明，但被当作不证自明的一个命题。
3. 定理
4. 命题－通常，命题是一个可以判断真或假的陈述句，亦有既真又假的命题（悖论）。
5. 推论（也称系、系理）－一个从定理随之而即时出现的叙述。若命题B可以很快、简单地推导出命题A，命题A为命题B的推论。
6. 引理（也称辅助定理，补理）－某个定理的证明的一部分的叙述。它并非主要的结果。引理的证明有时还比定理长，例如舒尔引理。
7. 假说－根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明。

定理一般都有许多条件。然后有结论——一个在条件下成立的数学叙述。通常写作“若条件，则结论”。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。

若存在某叙述为${\displaystyle A\rightarrow B}$ ，其逆叙述就是${\displaystyle B\rightarrow A}$ 。逆叙述成立的情况是${\displaystyle A\leftrightarrow B}$ ，否则通常都是倒果为因，不合常理。若果叙述是定理，其成立的逆叙述就是逆定理。

• 若某叙述和其逆叙述都为真，条件必要且充足。
• 若某叙述为真，其逆叙述为假，条件充足。
• 若某叙述为假，其逆叙述为真，条件必要。

逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合，并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段，由此我们可以给定理一个更准确的表达（这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理，通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理）。定理在逻辑中的定义︰

一个定理是一个含有由建立于语言集合${\displaystyle L}$ 上的命题（${\displaystyle L}$ -命题）组成的非空集合。

这个定理（或这个命题集合）我们记作${\displaystyle T}$ ，这些建立于语言集合${\displaystyle L}$ 上的命题必须符合如下属性：

对所有在${\displaystyle T}$ 中的命题${\displaystyle \varphi }$ ，如果${\displaystyle T\vDash \varphi }$ ，那么${\displaystyle \varphi \in T}$ 。

比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合${\displaystyle L}$ 上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理${\displaystyle T}$ 的扩展（extension），前提是该定理包含定理${\displaystyle T}$ 。

有一个命题集合${\displaystyle A}$ ，我们将一个包含${\displaystyle A}$ 的集合记作${\displaystyle {\mbox{Th}}(A)}$ ，那么${\displaystyle {\mbox{Th}}(A)=\{\ \varphi \ \ |\ \ A\vDash \varphi \ \}}$  。显而易见${\displaystyle A\vDash {\mbox{Th}}(A)}$ ，所以${\displaystyle {\mbox{Th}}(A)}$ 是一个定理。比如我们有一个集合${\displaystyle G}$ ，${\displaystyle G}$ 有三个基于语言${\displaystyle L}$ 上的命题，其中${\displaystyle L=\{e,f\}}$ ，${\displaystyle e}$ 是常数符号，${\displaystyle f}$ 是函数符号。三个命题如下：

${\displaystyle \forall x\forall y\forall zf(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))}$ ，

${\displaystyle \forall xf(x,e)=x\land f(e,x)=x}$ ，

${\displaystyle \forall x\exists yf(x,y)=e\land f(y,x)=e}$ 。

那么如果有${\displaystyle {\mbox{Th}}(G)=\{\ \varphi \ \ |\ \ G\vDash \varphi \ \}}$ ，则${\displaystyle {\mbox{Th}}(G)}$ 是${\displaystyle G}$ 的定理。当然，如果${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 是两个命题集合且满足${\displaystyle A\subseteq B}$ ，那么${\displaystyle {\mbox{Th}}(A)\subseteq {\mbox{Th}}(B)}$ 。

我们说一个定理${\displaystyle T}$ 是完整的（Complete），当且仅当对于和${\displaystyle T}$ 一样构建在同样语言集合上的所有命题${\displaystyle \varphi }$ ，要么${\displaystyle \varphi \in T}$ ，要么${\displaystyle \lnot \varphi \in T}$ 。

注意：这个概念不能和定理${\displaystyle T}$ 的完备性（Completude）混淆，完备性是证明在定理${\displaystyle T}$ 中的永真命题是递推可枚举的（recursivement enumerable），但是不能说它一定是完整的。

不是所有的定理是完整的。比如${\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )}$ 一个空集合${\displaystyle \{\Phi \}}$ 的定理是所有真命题集合，但是${\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )}$ 不是完整的。假如有命题${\displaystyle \Psi =\exists x\exists y(x\neq y)}$ ，对于${\displaystyle \Psi }$ 来说，它既不是永真命题，也不是永假命题，它是一个可满足式的命题，也就是说${\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \Psi }$ 且${\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \lnot \Psi }$ 。因此${\displaystyle \Psi \notin {\mbox{Th}}(\Phi )}$ ，所以我们说${\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )}$ 不是完整的。 一个定理${\displaystyle T}$ 称作是稳健的（Consistante），当且仅当${\displaystyle \forall \varphi \in T,\ \lnot \varphi \notin T}$ 。我们说对所有的解释（Interpretation）${\displaystyle I}$ ，${\displaystyle {\mbox{Th}}(I)}$ 是一个定理，并且${\displaystyle {\mbox{Th}}(I)}$ 既是稳健的又是完整的。

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