非孤立奇点是奇点的一种。P是奇点,若不存在任何一个包含P的开邻域(又称开集)U,使得U中不包含异于P的奇点(即P的任意有孔邻域中都包含奇点),则称P为非孤立奇点。
非孤立奇点分为两种:
- 聚点:孤立奇点的极限。如果这些孤立奇点是极点,那么尽管这些极点本身可以洛朗展开,但它们的极限,即该聚点,不能进行洛朗展开。
- 自然边界:任何非孤立点集(如:一条曲线),使得函数不能在它周围解析连续。(如果在黎曼球面上,则函数不能在它外面解析连续。)
例子
- 函数 在 上是亚纯函数,只在 处有单极点,其中 。但因为 ,任意一个以原点为圆心的空心圆内,都有无限个单极点,所以 在 附近没有洛朗展开。因此, 是函数 的非孤立奇点。
- 函数 在 处的奇点也是非孤立奇点,原因基本同上。
- 由麦克劳林级数定义的函数 在以原点为圆心的开单位圆内( )收敛。单位圆 是它的自然边界。
参见
参考资料
外部链接