无字证明

无字证明（英语：proof without words）是指仅用图像而无需文字解释就能不证自明的数学命题。由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理。[1]无字证明通常只是用图像来说明一个证明中的特例，因而需要推广才能构成完整的证明。[2]

奇数之和定理的无字证明
《周髀算经》中勾股定理的无字证明
延森不等式的无字证明

示例

奇数之和

从1至2n-1之间的所有奇数之和为平方数n2的无字证明如右图所示。[3]第一个正方形由一个方块组成，即1为首个平方数。之后增加3个白色方块以组成第二个正方形，总共有4个方块，即4为第二个平方数。之后再增加5个黑色方块组成下一个平方数9，并以此类推。

勾股定理

勾股定理可以由右边第二张图（出自《周髀算经》）进行证明。通过两种不同的方法计算大的正方形的面积可以得到

 

虽然没有上一个例子那么明显，但也可以看作是无字证明。[4]

延森不等式

延森不等式可由右边第三张图加以证明。沿X轴的点曲线为X的假想分布，沿Y轴的点曲线则为相应的Y的分布。可以看到随着X值的增大，凸映射Y(X)使得分布不断地“延长”。[5]

参见

注释

  1. ^ Dunham 1994，第120页
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Proof without Words. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Retrieved on 2008-6-20
  3. ^ Dunham 1994，第121页
  4. ^ Nelsen 1997，第3页
  5. ^ Jensen's Inequality, Bulletin of the American Mathematical Society 43 (8) (American Mathematical Society), 1937, 43 (8): 527 

参考文献

  • Dunham, William, The Mathematical Universe, John Wiley and Sons, 1974, ISBN 0-471-53656-3 
  • Nelsen, Roger B., Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America: 160, 1997, ISBN 978-0-88385-700-7 
  • Nelsen, Roger B., Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America: 142, 2000, ISBN 0-88385-721-9