坡印亭定理

电磁学中,坡印亭定理(或称坡印廷定理)是用偏微分方程陈述的关于电磁场能量守恒的定理,由英国物理学家约翰·亨利·坡印亭[1]发现。坡印亭定理类似于经典力学中的动能定理,在数学形式上与连续性方程相似。它把能量密度u的时间导数,与能量的流动,以及与电磁场做功的速率联系起来。

陈述

一般形式

用语言描述,此定理是说能量守衡:[2]

此定理还有一种陈述:

数学上,用微分形式概括为:

 

其中 ∇•S坡印亭矢量(能量流)的散度,而 JE 是场中带电物体做功的功率(J 为对应于电荷运动的自由电流密度E电场强度,• 为点积)。能量密度 u 为:[3]

 

其中 D电位移矢量B磁感应强度H磁场强度ε0真空电容率μ0真空磁导率。 由于电荷可以自由移动,DH 场忽略任何束缚电荷和电流的电荷分布(由定义),J自由电流密度不是全电流的电流密度。

利用散度定理,坡印亭定理可以改写为积分形式

     

其中  V 的边界。该体积的形状似任意的但对于计算是固定的。

电气工程

电气工程中,该定理通常写成以下把能量密度 u 展开的形式,这与流体力学之连续性方程相似:

 

其中

  •   是驱动电场建立的无功功率的密度,
  •   是驱动磁场建立的无功功率的密度,
  •  洛仑兹力作用在载流子上损耗的电功率的密度。

推导

虽然能量守恒定律洛伦兹力定律可以导出该定理的一般形式,要推导坡印亭矢量的表达式并由此完整叙述,还需要用到麦克斯韦方程组

坡印亭定理

考虑到以上叙述 - 这个定理有三个元素,涉及将(单位时间)能量转移写成体积分英语Volume integral[2]

  1. 因为 u 是能量密度,对整个体积区域积分得到区域内储存的总能量 U,再对时间求(偏)导数得到能量变化率:
     
  2. 离开区域的能流为坡印亭矢量的曲面积分,使用散度定理可以将其写作:
        
  3. 把某一电荷分布上的洛伦兹力密度 f 在整个体积上积分得到总受力 F
     

    其中 ρ 为该分布的电荷密度v 为其速度。因为  ,该力做功的速率为

     

所以,根据能量守恒定律,单位时间内的能流平衡方程是该定理的积分形式:

 

由于体积 V 是任意的,对所有体积来说都是成立的,这意味着

 

这是坡印亭定理的微分形式。

坡印亭矢量

从定理可以得到坡印亭矢量 S 的实际形式。能量密度的时间导数(运用向量点乘乘积法则)为

 

使用本构关系[需要解释]

 

时间偏导意味着要用到麦克斯韦方程组的两个方程。求麦克斯韦–法拉第方程H点积

 

再求麦克斯韦–安培方程E 的点积:

 

总和目前的结果得到:

 

然后,利用向量微积分恒等式

 

给出了坡印亭矢量的表达式:

 

物理上意味着由于时变电场和磁场的能量传递与这两种场垂直。

参见

  • 坡印亭矢量

参考文献

  1. ^ Poynting, J. H. On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1884, 175: 343–361. doi:10.1098/rstl.1884.0016. 
  2. ^ 2.0 2.1 Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, p.364, 编辑