网球拍定理

自由转动时，欧拉方程的形式为

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}$ 

这里，${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ 为三个转动惯量，并假设${\displaystyle I_{1}>I_{2}>I_{3}}$ 。${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}$ 为三个相应的角速度，${\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}$ 为其时间导数。

现在研究绕主轴1旋转的情况，要确定平衡状态的性质，可以假设另外两个初始角速度都非常小，从而${\displaystyle ~{\dot {\omega }}_{1}}$ 也非常小，所以${\displaystyle \omega _{1}}$ 与时间的关系可以忽略掉。

然后对方程(2)求导，并把${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$ 到代入其中，从而有

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{2})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\\end{aligned}}}$ 

值得一提的是，注意，现在${\displaystyle \omega _{2}}$ 的符号发生了变化，所以绕着这根轴旋转是稳定的。

对于${\displaystyle I_{3}}$ 也是类似的原因，也是稳定的。

现在将一样的分析应用到${\displaystyle I_{2}}$ 上，这一次是${\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}}$ 非常小，${\displaystyle {\omega }_{2}}$ 与时间的关系可以忽略。

对方程(1)求导，并把${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$ 到代入其中，从而有

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{2})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\\end{aligned}}}$ 

注意，${\displaystyle \omega _{1}}$ 的符号保持不变（角速度会增长），所以绕主轴2旋转不稳定。因此，一个很小的扰动就会使物体发生"翻转"。