霍普夫不变量

1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（Clifford parallel（英语：Clifford parallel））构造了霍普夫映射 ${\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2}}$ ，并通过利用圆周 ${\displaystyle \eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\subset S^{3}}$  对任意 ${\displaystyle x\neq y\in S^{2}}$  的环绕数（=1），证明了 ${\displaystyle \eta }$  是本质的，即不同伦于常值映射。随后证明了同伦群 ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$  是由 ${\displaystyle \eta }$  生成的无限循环群。1951年，让-皮埃尔·塞尔证明了对一个奇数维球面（${\displaystyle n}$  奇）有理同伦群 ${\displaystyle \pi _{i}(S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$  是零除非 i = 0 或 n。但对一个偶数维球面（${\displaystyle n}$  偶），在 ${\displaystyle 2n-1}$  次处多出一个无限循环同伦。对此有一种有趣的看法：

设 ${\displaystyle \phi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$  是一个连续映射（假设 ${\displaystyle n>1}$ ）。则我们可以构造胞腔复形

${\displaystyle C_{\phi }=S^{n}\cup _{\phi }D^{2n},}$ 

这里 ${\displaystyle D^{2n}}$  是 ${\displaystyle 2n}$ -维圆盘通过 ${\displaystyle \phi }$  贴上一个 ${\displaystyle S^{n}}$ 。 胞腔链群 ${\displaystyle C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\phi })}$  在度数 ${\displaystyle n}$  只是由 ${\displaystyle n}$ -胞腔自由生成，故它们在度数 0、${\displaystyle n}$  与 ${\displaystyle 2n}$ 是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ，其余都是零。胞腔（上）同调是该链复形的（上）同调，因为所有边缘同态必然是零（注意到 ${\displaystyle n>1}$ ），上同调是

${\displaystyle H_{\mathrm {cell} }^{i}(C_{\phi })={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}$ 

记这些上同调群的生成元为

${\displaystyle H^{n}(C_{\phi })=\langle \alpha \rangle }$  与 ${\displaystyle H^{2n}(C_{\phi })=\langle \beta \rangle .}$ 

因为维数原因，这些类之间的所有杯积除了 ${\displaystyle \alpha \smile \alpha }$  一定都是平凡的。从而作为一个环，上同调是

${\displaystyle H^{*}(C_{\phi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\phi )\beta \rangle .}$ 

整数 ${\displaystyle h(\phi )}$  是映射 ${\displaystyle \phi }$  的霍普夫不变量。

定理：${\displaystyle h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z} }$  是一个同态。进一步，如果 ${\displaystyle n}$  是偶数，则 ${\displaystyle h}$  映到 ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ 。

对霍普夫映射霍普夫不变量是 ${\displaystyle 1}$ （这里 ${\displaystyle n=1,2,4,8}$ ，分别对应于实可除代数 ${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} }$ ，而二重复叠 ${\displaystyle S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}}$  将球面上的一个方向送到它生成的子空间）。只有这些映射的霍普夫不变量是 1，这是最先由弗兰克·亚当斯（Frank Adams（英语：Frank Adams））证明的一个定理，后来迈克尔·阿蒂亚利用 K-理论重新给出了证明。

可以定义一种非常一般的霍普夫不变量概念，但需要一些同伦论知识预备：

设 ${\displaystyle V}$  表示一个向量空间而 ${\displaystyle V^{\infty }}$  是其单点紧化，即对某个 ${\displaystyle k}$  有 ${\displaystyle V\cong \mathbb {R} ^{k}}$  而 ${\displaystyle V^{\infty }\cong S^{k}}$ 。如果 ${\displaystyle (X,x_{0})}$  是任意带基点的空间（在上一节中不明确），如果我们去无穷远点为 ${\displaystyle V^{\infty }}$  的基点，则我们可以构造楔积 ${\displaystyle V^{\infty }\wedge X}$ 。

现在令 ${\displaystyle F\colon V^{\infty }\wedge X\to V^{\infty }\wedge Y}$  是一个稳定映射，即在约化垂纬函子下稳定。${\displaystyle F}$  的（稳定）几何霍普夫不变量是

${\displaystyle h(F)\in \{X,Y\wedge Y\}_{\mathbb {Z} _{2}}}$ ，

是从 ${\displaystyle X}$  到 ${\displaystyle Y\wedge Y}$  映射的稳定 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ -等变同伦群中一个元素。这里稳定意为“在垂纬下稳定”，即通常等变同伦群在 ${\displaystyle V}$  上（或 ${\displaystyle k}$ ，如果你愿意）的正向极限；而 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ -作用是 ${\displaystyle X}$  的平凡作用与交换 ${\displaystyle Y\wedge Y}$  中两个因子。如果我们令 ${\displaystyle \Delta _{X}\colon X\to X\wedge X}$  表示典范对焦映射而 ${\displaystyle I}$  是恒等，则霍普夫不变量由下式定义：

${\displaystyle h(F):=(F\wedge F)(I\wedge \Delta _{X})-(I\wedge \Delta _{Y})(I\wedge F).}$ 

这个映射原本是从 ${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge X}$  到 ${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y}$  的映射，但在正向极限之下它成为映射的稳定同伦 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ -等变群的典型元素。

也有一个非稳定版本的霍普夫不变量 ${\displaystyle h_{V}(F)}$ ，为此我们必须考虑向量空间 ${\displaystyle V}$ 。

• Adams, J.F., On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann. Math., 1960, 72: 20–104 
• Adams, J.F.; Atiyah, M.F., K-Theory and the Hopf Invariant, The Quarterly Journal of Mathematics, 1966, 17 (1): 31–38 

• Crabb, M.; Ranicki, A., The geometric Hopf invariant (PDF), 2006 [2009-06-22], （原始内容 (PDF)存档于2016-03-03） 
• Hopf, Heinz, Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche, Mathematische Annalen, 1931, 104: 637–665, ISSN 0025-5831 
• Shokurov, A.V., Hopf invariant, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4