迪潘指标线

对于方程为${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(u,v)}$ 的曲面S，在曲面上一点P可作无数个法截线，每个法截线在P点的曲率为法曲率。

设${\displaystyle \kappa _{n}}$ 是对应于截面方向d的法曲率，沿截面方向d作长度为${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\kappa _{n}|}}}}$ 的线段PN，则对所有方向d，点N的集合为曲面在P点的迪潘指标线。

选取P为原点，${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{u},{\boldsymbol {r}}_{v}}$  为基向量，则它们可构成曲面S在P点的切平面上的笛卡尔坐标系。设N点坐标为${\displaystyle (x,y)}$ ，法截线方向d的切向量为，可得到：

${\displaystyle x{\boldsymbol {r}}_{u}+y{\boldsymbol {r}}_{v}={\sqrt {\frac {1}{|\kappa _{n}|}}}{\frac {\operatorname {d} \!{\boldsymbol {r}}}{|\operatorname {d} \!{\boldsymbol {r}}|}}}$ .

代入${\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\mathrm {II} }{\mathrm {I} }}}$ ，经过化简有：${\displaystyle Lx^{2}+2Mxy+Ny^{2}=\pm 1}$ .

其中L, M, N 是曲面第二基本形式，以上就是迪潘指标线的方程^[2]。

从迪潘指标线的方程可知其表示以P点为中心的二次曲线，因此可以由二次曲线的类别对不同的P点进行分类：

1. 如果 ${\displaystyle LN-M^{2}>0}$ , 则此时迪潘指标线为椭圆，P点成为曲面的椭圆点。
2. 如果 ${\displaystyle LN-M^{2}<0}$ , 则此时迪潘指标线为双曲线，P点成为曲面的双曲点。
3. 如果 ${\displaystyle LN-M^{2}=0}$ , 则此时迪潘指标线为一队平行直线，P点成为曲面的抛物点。
4. 如果 ${\displaystyle L=M=N=0}$ , 则此时迪潘指标线不存在，P点成为曲面的平点。

• 环面的迪潘指标线

1. ^ Kendall, John. Oxford Dictionary of National Biography. Reference Reviews. 2013-09-16, 27 (7). ISSN 0950-4125. doi:10.1108/rr-07-2013-0169. 
2. ^ 梅, 向明. 微分几何. 高等教育出版社. 2007. ISBN 978-7-04-023572-2.