全形 (数学)

记群G的自同构群为Aut(G)，则G的全形Hol(G)是

${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)}$ 

其中的外半直积是对于Aut(G)在G上的自然作用，因此全形上的运算如下：令${\displaystyle (g,\alpha ),(h,\beta )}$ 为Hol(G)的元，其中g, h是G的元，${\displaystyle \alpha ,\beta }$ 是G的自同构，则

${\displaystyle (g,\alpha )(h,\beta )=(g\alpha (h),\alpha \beta )}$ 。

群G以左乘和右乘作用在自身的元素上，定义出两个从G到G上的对称群Sym(G)的群同态。左乘对应的群同态为

${\displaystyle \lambda :\ G\to \operatorname {Sym} (G)}$ ，${\displaystyle \lambda (g)(h)=g\cdot h}$ ；

右乘对应的群同态为

${\displaystyle \rho :\ G\to \operatorname {Sym} (G)}$ ，${\displaystyle \rho (g)(h)=h\cdot g^{-1}}$ 。

这两个群同态称为G的左及右正规表示，并且都是单射（凯莱定理）。换言之，G同构于${\displaystyle \lambda (G)}$ 和${\displaystyle \rho (G)}$ 。G的全形${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)}$ 是${\displaystyle \lambda (G)}$ 在${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$ 中的正规化子。

• Hall, Marshall, Jr., The theory of groups, Macmillan, 1959, MR0103215