德林斐特量子对

德林斐特量子对（Drinfeld quantum double、Drinfeld double或quantum double）是数学家德林斐特于1986年柏克莱国际数学家大会上提出的一种代数结构，由有限维霍普夫代数 ${\displaystyle A}$ 以及其对偶 ${\displaystyle A^{*}}$制作出新的霍普夫代数，还自动包含半三角结构。量子对是量子群理论中极重要的建构。

在向量空间的层次上，量子对同构于张量积 ${\displaystyle A\otimes A^{\ast }}${\displaystyle A\otimes A^{*}} ，这个代数结构相当复杂。设 ${\displaystyle (A,S)}$ 为域 ${\displaystyle k}$ 上的有限维霍普夫代数，假定 ${\displaystyle S}$ 可逆，并设 ${\displaystyle \phi (,):A\otimes A^{*}\to k}$ 为 ${\displaystyle A}$ 与 ${\displaystyle A^{*}}$ 的自然配对。下列性质确定了量子对上唯一的霍普夫代数结构：

• 自然映射 ${\displaystyle A\to A\otimes 1\subset A\otimes A^{*}}$ 与 ${\displaystyle A^{*}\to 1\otimes A^{*}\subset A\otimes A^{*}}$ 是霍普夫代数的同构。
• ${\displaystyle \forall a\in A,b\in A^{*},\;(a\otimes 1)\cdot (1\otimes b)=a\otimes b}$
• 承上，${\displaystyle (1\otimes b)\cdot (a\otimes 1)=\sum _{(a),(b)}\phi (S^{-1}(a_{(1)}),b_{(1)})\phi (a_{(3)},b_{(3)})a_{(2)}\otimes b_{(2)}}$

任取一组基 ${\displaystyle a_{i}\in A}$ 及其对偶基 ${\displaystyle b_{i}\in A^{*}}$。元素

${\displaystyle R:=\sum _{i}(1\otimes a_{i})\cdot (b_{i}\otimes 1)\in {\mathcal {D}}_{\phi }(A,A^{*})^{\otimes 2}}$

与基的选取无关，并满足

• ${\displaystyle R}$ 可逆。
• ${\displaystyle R\cdot \Delta (-,-)=\Delta ^{\mathrm {op} }(-,-)\cdot R}$
• ${\displaystyle \Delta \otimes \mathrm {id} =R_{13}R_{23}}$
• ${\displaystyle \mathrm {id} \otimes \Delta =R_{13}R_{12}}$

是故 ${\displaystyle R}$ 给出了 ${\displaystyle A\otimes A^{*}}$ 上的半三角结构。通常将此量子对记为 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\phi }(A,A^{*})}$。