自由度 (统计学)

在统计学中，自由度（英语：degree of freedom, df）是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数，称为该统计量的自由度^[1]。一般来说，自由度等于独立变量数减掉其衍生量数^[2]；举例来说，方差的定义是样本减平均值（一个由样本决定的衍生量）的平方之和，因此对N个随机样本而言，其自由度为N-1。^[3]

数学上，自由度是一个随机向量的维度数，也就是一个向量能被完整描述所需的最少单位向量数。举例来说，从电脑萤幕到厨房的位移能够用三维向量 $a{\widehat {i}}+b{\widehat {j}}+c{\widehat {k}}$ 来描述，因此这个位移向量的自由度是3。自由度也通常与这些向量的坐标平方和，以及卡方分布中的参数有所关联。

范例

若存在两个变量 $a$ , $b$ ，而 $a+b=6$ 那么他的自由度为1。因为其实只有 $a$ 才能真正的自由变化， $b$ 会被 $a$ 选值的不同所限制。
估计总体的平均数（ $\mu \,$ ）时，由于样本中的 $n$ 个数都是相互独立的，任一个尚未抽出的数都不受已抽出任何数值的影响，所以自由度为 $n$ 。
估计总体的方差（ $\sigma ^{2}\,$ ）时所使用的统计量是样本的方差 $s^{2}$ ，而 $s^{2}$ 必须用到样本平均数 ${\overline {x}}$ 来计算。 ${\overline {x}}$ 在抽样完成后已确定，所以大小为 $n$ 的样本中只要 $n-1$ 个数确定了，第 $n$ 个数就只有一个能使样本符合 ${\overline {x}}$ 的数值。也就是说，样本中只有 $n-1$ 个数可以自由变化，只要确定了这 $n-1$ 个数，方差也就确定了。这里，平均数 ${\overline {x}}$ 就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，样本方差 $s^{2}$ 的自由度为 $n-1$ 。
统计模型的自由度等于可自由取值的自变量的个数。如在回归方程中，如果共有 $p$ 个参数需要估计，则其中包括了 $p-1$ 个自变量（与截距对应的自变量是常量）。因此该回归方程的自由度为 $p-1$ 。
如果用刀剖柚子，在北极点沿经线方向割3刀，得6个角。这6个角可视为3对。6个角的平均角度一定是60度。其中半边3个角中，只会有2个可以自由选择，一旦2个数值确定第3个角也会唯一地确定。在总和已知的情况下，切分角的个数比能够自由切分的个数大1。

参考文献

^ Degrees of Freedom. "Glossary of Statistical Terms". Animated Software. [2008-08-21]. （原始内容存档于2018-09-17）.
^ Walker, H. M. Degrees of Freedom. Journal of Educational Psychology. April 1940, 31 (4): 253–269. doi:10.1037/h0054588.
^ Lane, David M. Degrees of Freedom. HyperStat Online. Statistics Solutions. [2008-08-21]. （原始内容存档于2018-06-28）.

[1] Degrees of Freedom. "Glossary of Statistical Terms". Animated Software. [2008-08-21]. （原始内容存档于2018-09-17）.

[2] Walker, H. M. Degrees of Freedom. Journal of Educational Psychology. April 1940, 31 (4): 253–269. doi:10.1037/h0054588.

[3] Lane, David M. Degrees of Freedom. HyperStat Online. Statistics Solutions. [2008-08-21]. （原始内容存档于2018-06-28）.

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