斯卢茨基定理

设${\displaystyle (X_{n}),(Y_{n})}$ 为随机标量、向量或矩阵序列。若${\displaystyle (X_{n})}$ 依分布收敛至随机元素${\displaystyle X}$ ，且${\displaystyle (Y_{n})}$ 依概率收敛至常数${\displaystyle c}$ ，则

• ${\displaystyle (X_{n}+Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ X+c;}$ 
• ${\displaystyle (X_{n}Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ Xc;}$ 
• ${\displaystyle (X_{n}/Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ X/c,}$    若c可逆，

其中${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$ 表示依分布收敛。

说明

1. ${\displaystyle (Y_{n})}$ 趋向于常数的条件不能省略。假如允许趋向于非退化的随机元，则定理不再成立。例如，设${\displaystyle X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$ ，${\displaystyle Y_{n}=-X_{n}}$ ，则对所有${\displaystyle n}$ ，皆有和${\displaystyle X_{n}+Y_{n}=0}$ 。再者，${\displaystyle Y_{n}{\xrightarrow {d}}{\rm {Uniform}}(-1,0)}$ ，但${\displaystyle X_{n}+Y_{n}}$ 并不依分布收敛至${\displaystyle X+Y}$ ，其中${\displaystyle X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$ ，${\displaystyle Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)}$ ，${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 独立。^[3]
2. 若将定理中，所有“依分布收敛”改成“依概率收敛”，则结论仍然成立。

引用以下引理：若${\displaystyle (X_{n})}$ 依分布收敛至${\displaystyle X}$ ，且${\displaystyle (Y_{n})}$ 依概率收敛至常数${\displaystyle c}$ ，则联合向量${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$ 依分布收敛到${\displaystyle (X,c)}$ 。^[4]

现对上述依分布的收敛使用连续映射定理。由${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ ，${\displaystyle g(x,y)=xy}$ ，${\displaystyle h(x,y)=xy^{-1}}$ 定义的函数${\displaystyle f,g,h}$ 皆为连续函数（为使${\displaystyle h}$ 连续，要求${\displaystyle y}$ 可逆），故由连续映射定理，斯卢茨基定理成立。

• 随机变量的收敛