空间直线及其方程

定义：若平面{${\displaystyle \Pi _{1}:{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}}$ }与平面{${\displaystyle \Pi _{2}:{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}}$ }相交于直线${\displaystyle l}$ ，则直线${\displaystyle l}$ 的一般方程为：

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\\\end{cases}}}$ 

已知直线上一点${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ 和它的方向向量s=(m,n,p)，设直线上的动点为M(x,y,z)则向量${\displaystyle MM_{0}//s}$ 

所以两向量的对应坐标成比例，从而有这条直线的方程为：${\displaystyle {x-x_{0} \over {m}}={y-y_{0} \over {n}}={z-z_{0} \over {p}}}$ 

参数方程为${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+mt\\y=y_{0}+nt\\z=z_{0}+pt\end{cases}}}$ 

说明：在点向式方程中，某些分母为零时，其分子也理解为零。如当m=n=0，p≠0时直线方程为${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}\\y=y_{0}\\z=z_{0}+pt\end{cases}}}$ 

若两直线的方向向量分别为 ${\displaystyle {\vec {a}}}$  与 ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ，则它们的夹角为 ${\displaystyle \arccos {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}} \over \left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|}}$ 

若直线的方向向量为 ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ，平面的法向量为 ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ，则直线与平面的夹角为${\displaystyle \arcsin {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}} \over \left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|}}$ 

(平面束)