反演反演是种几何变换。给定点 O {\displaystyle O} 、常数 k {\displaystyle k} ,点 P {\displaystyle P} 的变换对应点就是在以 O {\displaystyle O} 开始的射线 O P → {\displaystyle {\overrightarrow {OP}}} 上的一点 P ′ {\displaystyle P'} 使得 O P ¯ ⋅ O P ′ ¯ = k 2 {\displaystyle {\overline {OP}}\cdot {\overline {OP'}}=k^{2}} 。 一点的反演 过O圆的反演 圆的反演 反演的结果: 过 O {\displaystyle O} 的直线:直线 过 O {\displaystyle O} 的圆:不过 O {\displaystyle O} 的直线 不过 O {\displaystyle O} 的圆:圆 过 O {\displaystyle O} 的球:不过 O {\displaystyle O} 的平面对于点 x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})} ,以原点为中心,在直角坐标系的反演变换可写成 x i → k 2 x i ∑ j x j 2 {\displaystyle x_{i}\rightarrow {\frac {k^{2}x_{i}}{\sum _{j}x_{j}^{2}}}} 以下都可视为反演: 立体投影法:可以取球面上任意一点为中心,球的直径为 k {\displaystyle k} 。 共轴圆:在平面取一系列共心圆,取一系列经过共心圆圆心的线,任意取一点为中心进行反演。阿波罗尼奥斯问题 主条目:阿波罗尼奥斯问题 阿波罗尼奥斯圆是其中一个可用反演变换轻易解决的问题。在平面给定三个圆,求作出与三圆相切的第四个圆。 参见 反射 旋转 平移 点反演 缩放