五角十二面体

五角十二面体是一种等面十二面体，共由12个面、30条边和20个顶点所组成，其结构在拓朴上与正十二面体相同，但由于构成面不是正多边形，因此不是正多面体^[6]。其30条边可以分成2组等长的边，其中一组为24条等长的短边，另一组为6条等长的长边。

顶点坐标

五角十二面体可以透过将立方体6个面的每个面分割成2个矩形，并且相邻面方向互相垂直的结构变形而来^[7]，因此五角十二面体中会有8个顶点跟立方体相同，这些顶点的坐标为：

(±1, ±1, ±1)

在将立方体每个面分割成2个矩形时产生的另外12个顶点可以表示为：^[8]

(0, ±(1 + h), ±(1 − h²))

(±(1 + h), ±(1 − h²), 0)

(±(1 − h²), 0, ±(1 + h))

其中h为过程中所产生之楔体的高，而五角十二面体的楔体高通常介于0到1之间。若高为1，则该形状会变为菱形十二面体^[7]，若高为0，则五边形会有一条边共线成矩形、矩形会两两共面成正方形，而整体立体外观为立方体。若其高为黄金分割率的乘法逆元−1 + √5/2^[9]，则会形成正十二面体；若是其相反数−1 − √5/2，则会形成大星形十二面体。

五角十二面体黄铁矿中常见的晶体形状^[10]，因此五角十二面体的英文名称是由黄铁矿的英文名称来命名的^[5]。虽然晶体学中并不存在正十二面体^[11]，但是与之拓朴同构的五角十二面体可以出现在黄铁矿的晶体中，而且有可能是早期发现帕雷托立体的来源之一^[12]。而真正的正十二面体只能以准晶体的形式出现于部分准晶体之中，如钬－镁－锌准晶体中。^[13]

五角十二面体具有一种几何自由度，该几何自由度是在对应五角十二面体之面两两共面形成的立方体、和其中六条边被缩短为0而退化形成的菱形十二面体的两限制情况（英语：Limiting case (mathematics)）下的几何自由度。而正十二面体则是所有边等长的特殊中间体。^[14]

二复合五角十二面体

透过交和五角十二面体的非零坐标可以形成另一个五角十二面体。这个新形成的五角十二面体可以和原本的五角十二面体组成一个具有对称性的复合几何结构，称为二复合五角十二面体。其在考克斯特记号中可以用     表示。这个复合立体具有八面体群对称性。^[15]

作为立方体分割面的变形结果

五角十二面体可以透过将立方体6个面的每个面分割成2个矩形，并且相邻面方向互相垂直的结构变形而来^[7]，而将立方体面分割成不同数量的矩形可以形成不同的结果，例如每个面皆分割成3个矩形可以形成立方五角十二面体，其对应的球面镶嵌^{[注 1]}是排球的常见形状之一^[16]。

• 黄铁矿
• 立方五角十二面体

1. ^ 一个多面体的球面镶嵌或球面多面体是指将该多面体投影到球面上所形成的几何结构。