矩形函数

矩形函数的定义为，

矩形函数

${\displaystyle \mathrm {rect} (t)=\Pi (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}}$

也可以将它定义为 ${\displaystyle \mathrm {rect} (\pm 1/2)}$ 的值为 0、1 或者未定义的值，另外也可以用 单位阶跃函数 ${\displaystyle u(t)}$ 来定义：

${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=u\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-u\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)}$

或者，

${\displaystyle \mathrm {rect} (t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)-u\left(t-{\frac {1}{2}}\right)}$

矩形函数归一化：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1}$

矩形函数的傅立叶变换，

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} (f)}$

或用用归一化Sinc函数表示为：

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}$,

我们可以将三角形函数定义为两个矩形函数的卷积：

${\displaystyle \mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)}$

如果将矩形函数当作一个概率分布函数，那么它的特征函数是，

${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}}\,}$

并且它的动差生成函数为，

${\displaystyle M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}}\,}$

其中 ${\displaystyle \mathrm {sinh} (t)}$ 是双曲正弦函数。