定义
设 为微分流形, 为其上的仿射联络。给定任一点 。根据常微分方程的基本理论,存在切空间 中的开子集 及光滑映射 ,使得:
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- 对每个 ,映射 是测地线。
- 承上, 。
对够小的 ,映射 是唯一的。定义点 的指数映射为
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由于常微分方程解的存在性只是局部性的,指数映射一般不能定义在整个 上,在黎曼流形的情形,霍普夫-里诺定理给出了充要条件。此外,指数映射通常也不是满映射,而是 的一个邻域。黎曼流形上由指数映射给出的坐标系称作测地法坐标。
从几何上看,指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v,映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。
李群的情形
设 为李群,取定左、右不变之仿射联络,可得在整个李代数上定义的指数映射 。这是联系李代数与李群的主要工具。李群的指数映射满足下述性质:
- 若 ,则 ;对一般情形,左式可由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式给出。
- 在群论的意义下生成 。
- 设 为李群同态, 为它在单位元处的拉回作用,则我们有一交换图
- 重要的特例是 而 (伴随作用),此时有
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取 ,相应者便是寻常的指数函数 。取 ,相应者是恒等映射 。
事实上,对复李群及任何完备域上的解析李群都能定义指数映射。
文献
- Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
- Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier (1975).