假设,从源头位置 往检验位置 发射出一束电磁波,而这束电磁波在检验时间 抵达观测者的检验位置 ,则这束电磁波发射的时间是推迟时间 。由于电磁波传播于真空的速度是有限的,观测者检验到电磁波的检验时间 ,会不同于这电磁波发射的推迟时间 。推迟时间 定义为检验时间 减去电磁波传播的时间:
- ;
其中, 是光速。
推迟时间的概念意味着电磁波的传播不是瞬时的。电磁波从发射位置传播到终点位置,需要一段传播期间,称为时间延迟。与日常生活的速度来比,电磁波传播的速度相当快。因此,对于小尺寸系统,这时间延迟,通常很难察觉。例如,从开启电灯泡到这电灯泡的光波抵达到观测者的双眼,所经过的时间延迟,只有几兆分之一秒。但是,对于大尺寸系统,像太阳照射阳光到地球,时间延迟大约为8分钟,可以经过实验侦测察觉。
表达方程
假设,一个移动中的带电粒子,所带电荷为 ,随着时间 而改变的运动轨道为 。设定向量 为从带电粒子位置 到检验位置 的分离向量:
- 。
则李纳-维谢标势 和李纳-维谢矢势 分别以方程表达为
- 、
- ;
其中, 是真空电容率, 是带电粒子的移动速度, 。
虽然李纳-维谢标势 和李纳-维谢矢势 的时间参数是 ,方程右手边的几个变数,带电粒子位置 和速度 都是采推迟时间 时的数值:
- 、
- 。
推导
从推迟势,可以推导出李纳-维谢势。推迟标势 与推迟矢势 分别以方程定义为(参阅推迟势)
- 、
- ;
其中, 和 分别是推迟时刻的电荷密度和电流密度, 是积分的体空间, 是微小体元素, 向量还是采推迟时间 时的数值。
带电粒子运动轨道的电荷密度可以用狄拉克δ函数表达为
- ;
其中, 是狄拉克δ函数。
代入推迟标势 的方程,
- 。
由于狄拉克δ函数 的积分会从 的可能值中,挑选出当 时,所有变数的数值。所以,在积分内的变数,都可以被提出积分,采推迟时间 时所计算出的数值。积分内,只剩下狄拉克δ函数等待进一步处理:
- 。
由于推迟时间 跟三个变数 、 、 有关,这积分比较难计算,需要使用换元积分法[4]。设定变数 。那么,其雅可比行列式 为
- 。
行列式内分量很容易计算,例如:
- 、
- 。
按照上述方法,经过一番计算,可以得到
- 。
所以,推迟标势 的方程变为
- 。
这样,可以得到李纳-维谢标势:
- 。
类似地,也可以推导出李纳-维谢矢势。
相对论性导引
从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度,而不依赖于源点的加速度,所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出李纳-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系,记作 。在 系中,电荷在推迟时刻的速度为零(虽然加速度未必为零),其标势应由库仑定律给出,矢势为零。[5][6]:165ff
- 、
- 。
标势和矢势从 系到 系的变换满足洛仑兹变换:
- 、
- ;
其中, 是洛仑兹因子, 。
代入后可以得到:
- 、
- 。
和 的变换关系也由洛仑兹变换给出:
-
将 的表达式代入即得到李纳-维谢势。
物理意义
对于固定不动的带电粒子,电势的方程为
- 。
这是李纳-维谢标势乘以雅可比行列式因子 。追根究柢,原因是移动中的带电粒子,虽然理论上是点粒子,但是由于它是在移动中,在积分里所占有的体积显得比较大,所带的电荷因此比较多,所以产生的电势不同。这也可以看作是一种多普勒效应。[5]
移动中的带电粒子的电磁场
从李纳-维谢势,可以计算电场 和磁场 :
- 、
- 。
求得的电场 和磁场 分别为[7]
- 、
- ;
其中,向量 设定为 ,带电粒子的加速度是 。
检查电场 的方程,右边第一项称为广义库仑场,又称为速度场,因为这项目与加速度无关。当 ,粒子速度超小于光速时, ,这项目会趋向库仑方程:
- 。
右边第二项称为辐射场,又称为加速度场,因为这项目的物理行为主要是由粒子的加速度决定。这个项目能够描述电磁辐射的生成程序。